Twierdzenie Baire'a i topologiczna zupełność

Zupełność przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ pociąga pewną ważną wlasność topologii $ \sT(d) $, która może być przyjęta za definicję zupełności w sensie topologicznym.

Twierdzenie [ René-Louis Baire (Paryż 1874 - 1918 Chambéry, Francja) ] Jeśli $ (X,d) $ jest zupełną przestrzenią metryczną, to przecięcie dowolnej rodziny $ \rodz{U}=\{U_i\}_{i=1}^{\infty} $ zbiorów otwartych i gęstych w topologii $ \sT(d) $ jest zbiorem gęstym.
Dowód: Niech $ V\in\sT(d) $ będzie niepusty. Trzeba pokazać, że $ V\cap\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}U_i \neq\emptyset. $ Z gęstości $ U_i  $ mamy $ \forall_i\, V\cap U_i\neq\emptyset $, a więc można wybrać punkt $ x_1\in V\cap U_1\neq\emptyset $ oraz promień $ r_1>0 $ taki, że $ \bar B(x_1,r_1))\subset  V\cap U_i $, a następnie skonstruuować indukcyjnie zstępujący ciąg domknięć kul: $ \bar B(x_i,r_i)\subset B(x_{i-1},r_{i-1})\cap U_{i-1} $ , takich, że $ r_i\to 0 $. Z zupełności $ (X,d) $ mamy

$$V\cap\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}U_i  \supset \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} \bar B(x_i,r_i) \neq\emptyset. $$

Stwierdzenie Jeśli $ (X,d) $ jest zupełną przestrzenią metryczną, to suma dowolnej rodziny $ \rodz{F}=\{F_i\}_{i=1}^{\infty} $ zbiorów domkniętych i brzegowych w topologii $ \sT(d) $ jest zbiorem brzegowym.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z praw de Morgana, bowiem dopełnienia zbiorów domkniętych i brzegowych są zbiorami otwartymi, gęstym. Mamy więc $ X\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i = \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}(X\setminus F_i) $ jest zbiorem gęstym a więc $ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i $ jest zbiorem brzegowym. □

Twierdzenie Baire'a i wnioski z niego, stosowane do przestrzeni odwzorowań ma wiele zastosowań w Analizie Matematycznej i Topologii Różniczkowej.