Zupełność przestrzeni metrycznej pociąga pewną ważną wlasność topologii
, która może być przyjęta za definicję zupełności w sensie topologicznym.
Twierdzenie [ René-Louis Baire (Paryż 1874 - 1918 Chambéry, Francja) ] Jeśli
jest zupełną przestrzenią metryczną, to przecięcie dowolnej rodziny
zbiorów otwartych i gęstych w topologii
jest zbiorem gęstym.



Dowód: Niech
będzie niepusty. Trzeba pokazać, że
Z gęstości
mamy
, a więc można wybrać punkt
oraz promień
taki, że
, a następnie skonstruuować indukcyjnie zstępujący ciąg domknięć kul:
, takich, że
. Z zupełności
mamy










![]() |
□
Stwierdzenie Jeśli
jest zupełną przestrzenią metryczną, to suma dowolnej rodziny
zbiorów domkniętych i brzegowych w topologii
jest zbiorem brzegowym.



Dowód: Dowód wynika natychmiast z praw de Morgana, bowiem dopełnienia zbiorów domkniętych i brzegowych są zbiorami otwartymi, gęstym. Mamy więc
jest zbiorem gęstym a więc
jest zbiorem brzegowym. □


Twierdzenie Baire'a i wnioski z niego, stosowane do przestrzeni odwzorowań ma wiele zastosowań w Analizie Matematycznej i Topologii Różniczkowej.