Twierdzenie Baire'a i topologiczna zupełność | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Zupełność przestrzeni metrycznej $(X,d)$ pociąga pewną ważną wlasność topologii $\sT(d)$ , która może być przyjęta za definicję zupełności w sensie topologicznym.

Twierdzenie [ René-Louis Baire (Paryż 1874 - 1918 Chambéry, Francja) ] Jeśli $(X,d)$ jest zupełną przestrzenią metryczną, to przecięcie dowolnej rodziny $\rodz{U}=\{U_i\}_{i=1}^{\infty}$ zbiorów otwartych i gęstych w topologii $\sT(d)$ jest zbiorem gęstym.

Dowód: Niech $V\in\sT(d)$ będzie niepusty. Trzeba pokazać, że $V\cap\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}U_i \neq\emptyset.$ Z gęstości $U_i$ mamy $\forall_i\, V\cap U_i\neq\emptyset$ , a więc można wybrać punkt $x_1\in V\cap U_1\neq\emptyset$ oraz promień $r_1>0$ taki, że $\bar B(x_1,r_1))\subset V\cap U_i$ , a następnie skonstruuować indukcyjnie zstępujący ciąg domknięć kul: $\bar B(x_i,r_i)\subset B(x_{i-1},r_{i-1})\cap U_{i-1}$ , takich, że $r_i\to 0$ . Z zupełności $(X,d)$ mamy

$V\cap\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}U_i \supset \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} \bar B(x_i,r_i) \neq\emptyset.$

□

Stwierdzenie Jeśli $(X,d)$ jest zupełną przestrzenią metryczną, to suma dowolnej rodziny $\rodz{F}=\{F_i\}_{i=1}^{\infty}$ zbiorów domkniętych i brzegowych w topologii $\sT(d)$ jest zbiorem brzegowym.

Dowód: Dowód wynika natychmiast z praw de Morgana, bowiem dopełnienia zbiorów domkniętych i brzegowych są zbiorami otwartymi, gęstym. Mamy więc $X\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i = \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}(X\setminus F_i)$ jest zbiorem gęstym a więc $\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i$ jest zbiorem brzegowym. □

Twierdzenie Baire'a i wnioski z niego, stosowane do przestrzeni odwzorowań ma wiele zastosowań w Analizie Matematycznej i Topologii Różniczkowej.