Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

Definicja Niech $ f:X\to X $ będzie dowolnym odwzorowaniem zbioru $ X $ w siebie. Punktem stałym odwzorowania nazywamy element $ x\in X $ taki, że $ f(x)=x $.

Twierdzenia o istnieniu punktów stałych odgrywają ogromną rolę w wielu działach matematyki. Poniższe twierdzenie mówi nie tylko o istnieniu punktów stałych dla ważnej klasy odwzorowań, ale dostarcza także algorytmu jego poszukiwania:

Twierdzenie [S.~Banach](#) Jeśli $ (X,d) $ jest zupełną przestrzenią metryczną a $ f\colon X\to X $ odwzorowaniem zbliżającym tzn. takim dla którego istnieje liczba $ 0\leq c<1 $ taka, że dla dowolnych punktów $ x,y\in X $ zachodzi nierówność $ d(f(x),f(y))< cd(x,y) $. Wtedy $ f $ posiada dokładnie jeden punkt stały.
Dowód: Zauważmy, że przekształcenie zbliżające musi być ciągłe, przeprowadza więc ciągi zbieżne na ciągi zbieżne. Wybierzmy dowolny punkt $ x\in X $ i rozpatrzmy ciąg $ \{x_n\} $ określony rekrencyjnie $ x_1 := x $, $ x_{n+1} := f(x_n) $. Łatwo sprawdzić, że ten ciąg jest ciągiem Cauchy, a więc posiada granicę $ x_0 $. Z ciągłości odwzorowania $ f $ wynika, że $ f(x_0)=x_0 $. Jeśli punt $ x_0' $ byłby innym punktem stałym, to $ d(x_0,x_0') =  d(f(x_0),f(x_0')) $, co przeczy zalożeniu iż $ f $ jest odwzorowaniem zbliżającym.□