Twierdzenie Stone'a - Weierstrassa

Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (Y,\sT_Y) $ oznaczmy $ \sC(Y) := \Map (Y,\R) $ z topologią zwarto-otwartą.

Stwierdzenie Dodawanie i mnożenie funkcji definiuje w $ \sC(Y) $ strukturę pierścienia, przy czym oba działania są ciagłe. Zerem jest funkcja stała równa zero; a jednością funkcja stała równa jeden. Mnożenie przez funkcje stałe i dodawanie określają w $ \sC(Y) $ strukturę rzeczywistej przestrzeni wektorowej. □
Definicja Podzbiór $ A\subset\sC(Y) $ nazywamy $ \R $-podalgebrą jeśli podprzestrzenią liniową oraz jest zamknięty ze względu na iloczyn funkcji.
Stwierdzenie Dla dowolnego podzbioru $ D\subset\sC(Y) $ istnieje minimalna ze względu na inkluzję $ \R $-podalgebra $ A(D)\supset D $, którą nazywamy $ \R $-podalgebrą generowaną przez $ D $.
Dowód: Przecięcie dowolnej rodziny $ \R $-podalgebr jest oczywiście $ \R $-podalgebrą. Podalgebrę $ A(D) $ definiujemy więc jako przekrój rodziny $ \R $-podalgebr zawierających zbiór $ D $. □
Twierdzenie [ M. H. Stone (New York 1903 - 1989 Madras, India) - K. T. W. Weierstrass (Ostenfelde, Westphalia 1815 - 1897 Berlin)] (#) Niech $ (Y,\sT_Y) $ będzie dowolną przestrzenią Hausdorffa. Jeśli $ D\subset\sC(Y) $ jest podzbiorem zawierającym niezerową funkcję stałą takim, że funkcje z $ D $ rozdzielają punkty w $ Y $ tzn. dla dowolnych $ y_1\neq y_2 $ istnieje funkcja $ f\in D $ taka, że $ f(y_1)\neq f(y_2) $, to zbiór $ A(D) $ jest gęsty w $ \sC(Y) $.

Zanim przejdziemy do dowodu twierdzenia, przypomnimy jego klasyczne zastosowania.

Przykład [Klasyczne Twierdzenie Weierstrassa.] Niech $ (Y,\sT_Y) = ([0,1],\sT_e) $ i rozpatrzmy $ D := \{1, j\colon j(t) = t\} $. $ \R $--podalgebra generowana przez $ D $ to po prostu algebra funkcji wielomianowych zmiennej $ t $. Ponieważ topologia zwarto -- otwarta w $ \sC([0,1]) $ to topologia wyznaczona przez metrykę $ d_{\sup} $, a więc tw. Stone'a-Weierstrassa w tym przypadku powiada, że każda funkcja ciagła jest granicą jednostajną ciagu wielomianów. Zauważmy, że funkcję identycznościową możemy zastapić dowolną funkcją róznowartosciową! Jeśli zamiast odcinka rozpatrzyć całą prosta otrzymujemy wniosek, że każda funkcja $ f\colon\R\to\R $ jest granicą niemal jednostajnie zbieżnego ciagu wielomianów. (przestrzeń $ \sC (\R) $ jest metryzowalna!).
Przykład [Wielomiany trygonometryczne] Zauważmy, że funkcje ciągłe $ f\colon\R\to\R $ o okresie $ 2\pi $ można utożsamiać z funkcjami określonymi na okręgu $ S^1 $. Punkty okręgu będziemy parametryzować kątem $ \phi $ między dodatnim kierunkiem osi $ y=0 $ oraz półprostą wyznaczoną przez dany wektor. Rozpatrzmy $ D := \{\sin n\phi,\, \cos n\phi\colon n= 0,1,2,..\} \subset \sC (S^1) $. Ze wzorów na cosinus i sinus sumy kątów:

$$2\sin \phi_1 \sin \phi_2 = \cos(\phi_1- \phi_2)- \cos(\phi_1 + \phi_2)\quad 2\cos \phi_1 \cos \phi_2 = \cos(\phi_1- \phi_2) + \cos(\phi_1 + \phi_2)\quad 2\sin \phi_1 \cos \phi_2 = \sin(\phi_1- \phi_2) + \sin(\phi_1 + \phi_2)$$

łatwo wynika, że przestrzeń liniowa rozpięta na zbiorze $ D $ jest zamknieta ze względu na mnożenie, czyli jest $ \R $--podalgebrą. A z twierdzenia Stone'a-Weierstrassa wynika, że dowolna funkcja okresowa jest granicą jednostajną ciagu funkcji postaci:

$$ f_n(\phi) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^N (a_n\sin n\phi + b_n\cos n\phi)$$

Dowód twierdzenia poprzedzimy ważnym lematem:

Lemat (#) Niech $ A\subset\sC(Y) $ będzie podalgebrą. Jeśli $ f\in A $, to $ |f|\in \bar A $. Dla dowolnych funkcji $ f,g\in \bar A $ funkcje $ \min (f,g) $ i $ \max (f,g) $ też należą do $ \bar A $ .
Dowód: Ponieważ $ |f|=\sqrt {f^2} $ kluczowym kluczowym elementem dowodu będzie obserwacja, że funkcja $ \phi\colon [0,1]\to\R,\, \phi (t) := \sqrt t $ jest granicą jednostajną ciagu wielomianów $ p_n(t) $, co można pokazać bezpośrednio bądź powołać się na klasyczne tw. Weierstrassa zastosowane do funkcji $ \phi (t) := \sqrt t $.

Niech $ f\in A $ oraz $ |f|\in \bigcap\limits_1^n \langle C_i,W_i\rangle $. Pokażemy, że to otoczenie zawiera pewną funkcję $ g\in A $. Niech $ \epsilon := \min\{d_e(|f|(C_i),Y\setminus W_i)\colon i=1,\dots ,n\}>0  $. Wystarczy znaleźć $ g\in A $ taką, że $ ||f|(c) - g(c)|<\epsilon $ dla $ c\in C := \bigcup_1^n C_i $. Ponieważ $ C $ jest zwarty, funkcja $ f $ jest ograniczona, a więc istnieje $ M>0 $ takie, że $ |f(c)|\leq M $ dla $ c\in C $. Stąd wynika, że $ |f| $ jest na $ C $ granicą jednostajną ciągu wielomianów od funkcji $ f $: $ p_n(f^2/B^2) \to \sqrt{f^2/M^2} = |f|/M $.

Teza dla $ \min (f,g) $ i $ \max (f,g) $ łatwo wynika ze wzorów:

$$ \max (f,g) =  \frac12((f+g) + |f-g|),\quad  \min (f,g) = \frac12((f+g) - |f-g|).$$

    

Dowód:[Dowód tw. Stone'a-Weierstrassa] Bedziemy dowodzić, że zbiór $ \overline {A(D)} $ jest gęsty, a zatem ponieważ jest domknięty, musi być równy $ \sC(X) $. W tym celu trzeba sprawdzić, że dowolny zbiór z bazy topologii zwarto--otwartej $ \bigcap\limits_1^n\langle A_i,W_i\rangle $ przecina się z $ \overline {A(D)} $. Ustalmy zbiór bazowy i funkcję $ f\in\bigcap\limits_1^n\langle A_i,W_i\rangle $. Będziemy konstruować funkcję $ g\in \overline {A(D)}\cap\bigcap\limits_1^n\langle A_i,W_i\rangle $. Oznaczmy zbiór zwarty $ Z:=\bigcup\limits_1^nA_i \subset Y $ oraz $ \epsilon := \min\{d_e(f(A_i),Y\setminus W_i)\colon i=1,\dots ,n\}>0  $. Dowód składa się z trzech kroków.     

     Krok 1. Dla dowolnych punktów w $ y_1 \neq y_2 $ w $ Z $ oraz $ a_1,a_2\in\R $ istnieje $ f\in A(D) $ taka, że $ f(y_1)=a_1,\, f(y_2)=a_2 $.

Niech $ g $ będzie funkcją rozdzielającą $ y_1,y_2 $. Ponieważ funkcje stałe należą do $ A(D) $, a więc funkcja

$$f(y) := a + \frac{b-a}{g(y_1)-g(y_2)}[g(y)-g(y_1)]$$

należy do $ A(G) $ i przyjmuje żądane wartości w punktach$ y_1,y_2 $.     

     Krok 2. Dla dowolnej funkcji $ f\in\sC(X) $ oraz $ z_0\in Z $ istnieje $ g\in\overline  {A(D)} $ taka, że: $ g(z_0) = f(z_0) $ oraz $ g(z) < f(z) + \epsilon $ dla $ z\in Z $.

Z Kroku 1. dla każdego $ z\in Z $ istnieje funkcja $ h_z\in A(D) $ taka, że $ h_z(z_0)=f(z_0) $ oraz $ h_z(z) < f(z)+\frac{\epsilon}{2} $. (Jeśli $ z\neq z_0 $ można znaleźć funkcję taką, że $ h_z(z) = f(z)+\frac{\epsilon}{4} $, w przypadku $ z=z_0,\, h_{z_0}=f $.) Z ciągłości $ h_z $ i $ f $ wynika, że istnieje otoczenie $ W(z)\ni z $ takie, że $ h_z(y) < f(y)+{\epsilon} $ dla $ y\in V(z) $. Zbiory $ \{W(z)\}_{z\in Z} $ tworzą otwarte przykrycie $ Z $, a więc można z niego wybrać przykrycie skończone $ W(z_1)\cup\dots\cup W(z_m) \supset Z $. Niech $ g:=\min \{h_{z_1},\dots ,h_{z_m}\} $ Z Lematu [link] wynika, że $ g\in\overline {A(D)} $. Ponieważ dowolny punkt $ z\in Z $ należy do pewnego zbioru $ W(z_i) $, więc zachodza nierówności: $ g(z)\leq h_{z_i}(z)<f(z) +\epsilon $.     

     Krok 3. Istnieje $ g\in\overline  {A(D)} $ taka, że: $ \sup_{z\in Z} |f(z)-g(z)|<\epsilon $, a zatem $ g\in \overline {A(D)}\cap\bigcap\limits_1^n\langle A_i,W_i\rangle $.

Dla dowolnego $ z\in Z $ niech $ g_{z} $ bedzie funkcją skonstruowaną w Kroku 2. Istnieje otoczenie $ V(z)\ni z $ takie, że dla $ y\in V(z) $ zachodzi nierówność: $ g_{z}(y) > f(y)-\epsilon $. Zbiory $ \{V(z)\}_{z\in Z} $ przykrywają $ Z $ a więc można spośród nich wybrać przykrycie skończone $ V(z_1),\dots ,V(z_k) $ i zdefiniować $ g:=\max\{g_{z_1},\dots , g_{z_k}\} $. Podobnie jak w Kroku 2. $ g\in\overline{A(D)} $ oraz $  f(z)-\epsilon < g_{z_i}(z) \leq g(z) < f(z)+\epsilon $, czyli $ \sup_{z\in Z} |f(z)-g(z)|<\epsilon $ co należało dowieść. □