Własność Hausdorffa

Definicja [Własność Hausdorffa (Breslau (Wrocław) 1868 - 1942 Bonn ).] Przestrzeń topologiczną $ (X,{\cal T}) $ nazywamy przestrzenią Hausdorffa jeśli dla dowolnych różnych punktów $ x_0,x_1\in X $ istnieją zbiory $ U_0,U_1\in\sT $ takie, że $ x_0\in U_0,\,\, x_1\in U_1 $ oraz $ U_0\cap U_1 = \emptyset $.

Przykład Niech $ X $ będzie zbiorem nieskończonym. Zdefiniujmy w $ X $ tzw. "finite complement topology" jako rodzinę składającą się ze zbiorów, których dopełnienia są zbiorami skończonymi oraz całego zbioru pustego. W tej topologii dowolne dwa niepuste zbiory otwarte mają niepuste przecięcie (na rysunku na płaszczyźnie zaznaczono dwa zbiory - jeden po usunięciu punktów $ x_i $, drugi $ y_j $):

Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr h (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem i $ (X,\sT_X) $ jest przestrzenią Haudorffa, to $ (Y,\sT_Y) $ też jest przestrzenią Hausdorffa.