Wnętrze i domknięcie w terminach metryki

Niech $ (X,d) $ będzie przestrzenią metryczną oraz $ A\subset X $. Opiszemy operacje wnętrza i domknięcie zbioru $ A $ w topologii $ \sT(d) $ w terminach metryki $ d $ .

Stwierdzenie Punkt $ a\in\Int (A) $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba $ {r>0} $ taka, że $ B(a,r)\subset A. $
Stwierdzenie Punkt $ x\in\cl (A) $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciag elementów $ a_n\in A $ zbieżny do punktu $ x $.
Dowód: Jeśli $ x\in \bar A $, to dla dowolnej kuli $ B(x,\frac{1}{n}) $ istnieje punkt $ a_n\in B(x,\frac{1}{n})\cap A $. Ciąg $ \{a_n\} $ jest więc zbieżny do $ x $.

Odwrotnie, jeśli ciąg $ a_n\to x $, to w dowolnym otoczeniu punktu $ x $ leżą punkty ze zbioru $ A $, a więc $ x\in\bar A $. □

Domknięcie zbioru może być opisane w terminach intuicyjnej funkcji odstępu punktu od zbioru.

Stwierdzenie Funkcja odstępu punktu $ a\in X $ od podzbioru $ A \subset X $, $ d(\cdot ,A):X\to \R $ określona wzorem $ d(x ,A) := \inf \{d(x.a)\, |\, a\in A\} $ jest ciągła oraz:

$$d(x,A) = 0\quad\iff\quad x\in \cl (A).$$
Dowód: Sprawdzimy, że $ d(\cdot ,A) $ jest ciągła. Dla każdego punktu $ a\in A $ z nierówności trójkąta mamy oszacowanie: $ d(x,a)  \leq d(x,y) - d(y,a) $ oraz $ d(y,a)  \leq d(x,y) - d(x,a)| $, a więc $ |d(x,A) - d(y,A)|  \leq d(x,y). $ Z definicji ciągłości wg Heine natychmiast wynika ciągłość $ d(\cdot ,A) $. Odstęp $ d(x,A)=0 $ wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ciąg $ {\{a_n\}\subset A} $ zbieżny do $ x $, a więc $ x\in\cl (A) $. □