Wnętrze zbioru

Definicja Wnętrzem zbioru $ A\subset X $ nazywamy maksymalny (ze względu na inkluzję) otwarty podzbiór w $ A $, a więc sumę wszystkich podzbiorów otwartych zawartych w $ A $:

$$\Int_{(X,\sT)}(A) := \bigcup\{U\, |\,U\subset A,\, U\in\sT\}$$
Uwaga Oznaczenie $ \Int_{(X,\sT)}(A) $ podkreśla, że rozpatrujemy $ A $ jako podzbiór przestrzeni $ (X,\sT) $. Jeśli jest jasne z kontekstu w jakiej przestrzeni topologicznej położony jest zbiór $ A $ stosowane są skrócone oznaczenia $ \Int_X (A),\, \Int (A) $ lub $ \overset{\;\circ} A $.
Stwierdzenie Operacja brania wnętrza wyznacza odwzorowanie zbiorów potegowych $ \Int\colon {\cal P}(X)\to {\cal P}(X) $ spełniające następujące warunki:

  1. $ \forall A\subset X,\, \Int (A)\subset A $,
  2. $ U\in\sT\,\iff\,\Int (U) = U, $
  3. $ \Int(\Int (A)) = \Int (A) $,
  4. $ \Int (A)\cap \Int (B) =  \Int (A\cap B). $

Stwierdzenie Punkt $ a\in\Int (A) $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej bazy w punkcie $ a $ istnieje zbiór $ U $ z tej bazy taki, że $ U\subset A $.
Definicja (#) Podbiór $ A\subset X $ nazywa się brzegowy jeśli ma puste wnętrze tzn. $ \Int (A)=\emptyset $.
Przykład Podzbiór prostej euklidesowej jest brzegowy wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera żadnego odcinka.