Zadanie (#) W zbiorze liczb rzeczywistych
zdefiniujmy rodziny podzbiorów
:


-
-- topologia dyskretna
-
-- topologia prawej strzałki
-
-- topologia lewej strzałki
-
-- topologia euklidesowa
-
- topologia lewych przedziałów
-
- topologia prawych przedziałów
-
-- topologia Zariskiego
-
-- topologia antydyskretna
- Sprawdź, że rodziny
są topologiami.
- Porównaj topologie
, rysując diagram inkluzji tych topologii i zbadaj ich przecięcia.
- Które z topologii
mają własność Hausdorffa?
- Wskaż pary
, które są lub nie są homeomorficzne. Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę.
Zadanie Jeśli odwzorowanie ciągłe przestrzeni topologicznych
jest bijekcją oraz dla dowolnego zbioru otwartego
jego obraz
, to
jest homeomorfizmem.




Zadanie Zdefiniujmy funkcje
wzorami:

![]() |
Zbadać ciągłość funkcji jako przekształceń . Wyniki badań wpisać w tabelki.
Zadanie Rozpatrzmy w zbiorach liczb rzeczywistych
i zespolonych
topologię Zariskiego tzn. taką w której otwarte są jedynie dopełnienia zbiorów skończonych i cała prosta (odp. płaszczyzna zespolona). Sprawdzić, że odwzorowania wielomianowe
oraz
są ciągłe w topologii Zariskiego. Czy dowolne odwzorowanie
, ciągłe w topologii euklidesowej jest ciągłe w topologii Zariskiego?





Zadanie Jeśli
jest przestrzenią Hausdorffa a
inną topologią w zbiorze
taką, że
, to przestrzeń
jest także przestrzenią Hausdorffa.





Zadanie Wykaż, że jeśli
jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolny zbiór jednopunktowy jest domknięty. Czy zachodzi odwrotna implikacja?

Zadanie Jeśli
są przekształceniami ciągłymi o wartościach w przestrzeni Hausdorffa, to zbiór
jest domknięty.


Zadanie Przekonaj się, że metryki
opisane w BCPP Przykład 1.1.2 oraz 1.1.6 (A) są równoważne.

Zadanie Wykaż, że dowolne dwie kule w metrykach
opisanych w BCPP są homeomorficzne (wypisz wzory dla
). Podać przykład przestrzeni metrycznej i dwóch kul w niej, które nie są homeomorficzne.


Zadanie Czy dowolna metryka, która wyznacza w nieskończonym zbiorze
topologię dyskretną jest ograniczona z dołu?

Zadanie Wykaż, że kula domknięta w przestrzeni metrycznej
jest zbiorem domkniętym w topologii
.


Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.1 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.2 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.6 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.7 z BCPP. Porównaj topologie z Zad 1.6 i 1.7.