Zadania

Zadanie (#) W zbiorze liczb rzeczywistych $ \R $ zdefiniujmy rodziny podzbiorów $ {\cal T}_i $:

  • $ {\cal T}_1=\sP (\R) $ -- topologia dyskretna
  • $ {\cal T}_2=\{U\subset \R\colon  \forall_{s\in U}\exists_{t>s}[s,t)\subset U\} $ -- topologia prawej strzałki
  • $ {\cal T}_3=\{U\subset \R\colon  \forall_{s\in U}\exists_{t<s}(t,s]\subset U\} $ -- topologia lewej strzałki
  • $ {\cal T}_4=\{U\subset \R\colon  \forall_{s\in U}\exists_{r<s<t}(r,t)\subset U\} $ -- topologia euklidesowa
  • $ {\cal T}_5=\{\emptyset\}\cup\{\R\}\cup\{(-\infty,x)\colon x\in \R\} $ - topologia lewych przedziałów
  • $ {\cal T}_6=\{\emptyset\}\cup\{\R\}\cup\{(x,+\infty)\colon x\in \R\} $ - topologia prawych przedziałów
  • $ {\cal T}_7=\{\emptyset\}\cup\{\R\}\cup\{U\subset \R\colon  \R\setminus U \; \hbox{jest zbiorem skończonym}\} $ -- topologia Zariskiego
  • $ {\cal T}_8=\{\emptyset\}\cup\{\R\} $ -- topologia antydyskretna
  1. Sprawdź, że rodziny $ {\cal T}_i $ są topologiami.
  2. Porównaj topologie $ {\cal T}_i $, rysując diagram inkluzji tych topologii i zbadaj ich przecięcia.
  3. Które z topologii $ (\R ,\sT_i), $ mają własność Hausdorffa?
  4. Wskaż pary $ (\R ,\sT_i),\, (\R ,\sT_j) $, które są lub nie są homeomorficzne. Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę.
Zadanie Jeśli odwzorowanie ciągłe przestrzeni topologicznych $ f: (X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y) $ jest bijekcją oraz dla dowolnego zbioru otwartego $ U\in\sT_X $ jego obraz $ f(U)\in\sT_Y $, to $ f $ jest homeomorfizmem.
Zadanie Zdefiniujmy funkcje $ f,g,h\colon \R\longrightarrow \R $ wzorami:

$$f(x)=x^2 , \quad g(x)=\begin{cases}x^2 \quad\text{jeżeli $x\ge0$} \\ 0,\quad\text{jeżeli $x<0$}\end{cases}, \quad h(x)=\begin{cases}1 \quad\text{jeżeli $x\in [0,1)$}\\ 0\quad\text{jeżeli $x\notin [0,1)$}\end{cases}$$

Zbadać ciągłość funkcji jako przekształceń $ (\R,{\cal T}_i)\longrightarrow (\R,{\cal T}_j) $. Wyniki badań wpisać w tabelki.

Zadanie Rozpatrzmy w zbiorach liczb rzeczywistych $ \R $ i zespolonych $ \C $ topologię Zariskiego tzn. taką w której otwarte są jedynie dopełnienia zbiorów skończonych i cała prosta (odp. płaszczyzna zespolona). Sprawdzić, że odwzorowania wielomianowe $ w:\R\to\R $ oraz $ w:\C\to\C $ są ciągłe w topologii Zariskiego. Czy dowolne odwzorowanie $ \R\to\R $, ciągłe w topologii euklidesowej jest ciągłe w topologii Zariskiego?
Zadanie Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią Hausdorffa a $ \sT'\subset \sP(X) $ inną topologią w zbiorze $ X $ taką, że $ \sT\subset\sT' $, to przestrzeń $ (X,\sT') $ jest także przestrzenią Hausdorffa.
Zadanie Wykaż, że jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolny zbiór jednopunktowy jest domknięty. Czy zachodzi odwrotna implikacja?
Zadanie Jeśli $ f,g:X\to Y $ są przekształceniami ciągłymi o wartościach w przestrzeni Hausdorffa, to zbiór $ Eq (f,g):=\{x\in X\, |\, f(x)=g(x)\} $ jest domknięty.
Zadanie Przekonaj się, że metryki $ d_e,\, d_s,\, d_m\colon \R^n\times\R^n\to \R $ opisane w BCPP Przykład 1.1.2 oraz 1.1.6 (A) są równoważne.
Zadanie Wykaż, że dowolne dwie kule w metrykach $ d_e,\, d_s,\, d_m\colon \R^n\times\R^n\to \R $ opisanych w BCPP są homeomorficzne (wypisz wzory dla $ n=2 $). Podać przykład przestrzeni metrycznej i dwóch kul w niej, które nie są homeomorficzne.
Zadanie Czy dowolna metryka, która wyznacza w nieskończonym zbiorze $ X $ topologię dyskretną jest ograniczona z dołu?
Zadanie Wykaż, że kula domknięta w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ jest zbiorem domkniętym w topologii $ \sT(d) $.
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.1 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.2 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.6 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.7 z BCPP. Porównaj topologie z Zad 1.6 i 1.7.