Zadania

Zadanie Niech $ \sB_1,\,\sB_2 $ będą bazami topologii $ \sT. $ Wykazać, że rodzina podzbiorów $ \sB_{12}:=\{U\cap V\, |\, U\in\sB_1,\, V\in\sB_2\} $ też jest bazą $ \sT $.
Zadanie Wykazać. że przekształcenie ciągłe $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy obrazy zbiorów z pewnej bazy przestrzeni $ (X,\sT_X) $ są bazą przestrzeni $ (Y,\sT_Y) $.
Zadanie Na płaszczyźnie rzeczywistej $ \R^2 $ zdefiniujmy rodziny podzbiorów. $ \sU_i $: (punkty płaszczyzny oznaczamy $ x=(x_1,x_2) $).

  • $ \sU_1=\sP (\R^2) $ -- topologia dyskretna;
  • $ \sU_2=\{(a,b)\times\R \colon a<b\}\cup\{\R\times(a,b) \colon a<b\} $;
  • $ \sU_3=\{(a,b)\times (c,d) \colon  a<b,\, c<d\} $ -- topologia euklidesowa;
  • $ \sU_4=\{B(x,r)\subset \R^2\colon  x\in\R^2,\,  r>0 \} $ gdzie $ B(x,r) := \{x'\in X\, |\, ||x-x'||\leq r\} $;
  • $$\sU_5=\{B(x,r)\subset \R^2\colon  x\in\R^2,\,  r>0 \}\cup \{B((x_1,x_2),|x_2|)\cup \{(x_1,0)\}\cup B((x_1,- x_2),|x_2|)\, |\,  \, x_2\neq 0\}\}$$

    - płaszczyzna motylków Niemyckiego. (Zazwyczaj płaszczyzną Niemyckiego nazywa się górną półpłaszczyznę z opisaną topologią. Opisana przestrzeń to sklejenie dwóch półprzestrzeni Niemyckiego wzdłuż osi poziomej $ x_2=0 $.);

  • $$\sU_6:=\{\{a\}\times (c,d) \colon a\in\R,\, c<d<0\, \text{lub}\, 0<c<d\}\cup\{ (a,b)\times (-c,c)  \colon a < b,\, c >0\}$$

    - topologia rzeczna;

  • $ \sU_7=\{I(\vv,\epsilon)  \colon \vv\neq 0,\, 0<\epsilon<1 \}\cup  \{(-a,a)\times (-a,a) \colon a >0\}, $ gdzie dla wektora $ \vv\in\R^2 $ i $ \epsilon >0 $, $ I(\vv,\epsilon) := \{t\vv\,|\, 1-\epsilon < t < 1+\epsilon\} $ -- topologia kolejowa;
  • $ \sU_8=\{\emptyset\}\cup\{U\subset \R^2\colon  \R^2\setminus U \; \hbox{jest zbiorem jednopunktowym}\} $ -- topologia Zariskiego;
  • $ \sU_{10}=\{\emptyset\}\cup\{\R^2\} $ -- topologia antydyskretna;

Topologie generowane przez te rodziny będziemy oznaczać $ \sT_i := \sT (\sU_i) $.

  1. Które z rodzin $ \sU_i $ są topologiami, a które bazami topologii przez nie generowanymi?
  2. Porównaj topologie $ \sT_i := \sT (\sU_i) $, rysując diagram ich inkluzji i zbadaj przecięcia $ \sT_i\cap\sT_j $. Kiedy otrzymuje się inną topologię niż jedną z wyżej zdefiniowanych ?
  3. Zbadaj, które z topologii $ \sT_i  $ mają własność Hausdorffa.
  4. O których przestrzeniach $ (\R^2 ,\sT_i),\, (\R^2 ,\sT_j) $ potrafisz powiedzieć, że są lub nie są homeomorficzne? Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę.
  5. Dla wektora $ {\vv}\in {\R^2} $ definiujemy przekształcenie przesunięcia (translację) $ T_{\vv}\colon \R^2\to\R^2 $ wzorem $ T_{\vv}(\ww):=\vv+\ww. $ Dla każdego $ i=1..8 $ zbadać dla jakich wektorów $ \vv $ przesunięcie $ T_{\vv}\colon (\R^2,\sT_i)\to (\R^2,\sT_i) $ jest przekształceniem ciągłym (homeomorfizmem).
  6. Które z przestrzeni $ (\R^2 ,\sT_i) $ spełniają I, a które II aksjomat przeliczalności ?
  7. Które z przestrzeni $ (\R^2 ,\sT_i) $ są metryzowalne?