Zadania

Zadanie [Rzutowania w iloczynie kartezjańskim] Wykaż, że rzutowania na czynniki iloczynu kartezjańskiego $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s)\arr {p_s} (X_s,\sT_s) $ są odwzorowaniami otwartymi (tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte), a nie są zawsze odwzorowaniami domkniętymi (tzn. obrazy zbiorów domknętych nie muszą być domknięte.) (p. BCPP Zad. 1.37)
Zadanie Wykazać, że dla dowolnych przestrzeni $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ i podzbiorów $ A\subset X,\, B\subset Y $ zachodzi równość $ \Int (A\times B) = \Int (A)\times\Int (B) $. Czy analogiczna równość zachodzi dla produktów nieskończenie wielu przestrzeni?
Zadanie [Domknięcie w iloczynie kartezjańskim] BCPP Zad. 1.38
Zadanie [Zbiór Cantora] Pokazać, że odwzorowanie $ \prod\limits_1^{+\infty} (\{0,2\},\sT_\delta) \arr{f} ([0,1],\sT_e) $ dane wzorem $ f(\{n_i\}):= \sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{n_i}{3^i} $ jest homeomorfizmem na obraz, którym jest zbiór Cantora. p. M.Krych AM1. Przykład 6.5.
Zadanie Jeśli $ A\subset X $, to przez $ X/\{A\} $ lub czasem $ X/A $ oznaczamy zbiór klas abstrakcji relacji $ \sim_A $ takiej, że $ x_1\sim_A x_2 $ wtedy i tylko wtedy gdy $ x_1 = x_2 $ lub $ x_1,x_2\in A $. Wykazać, że jeśli $ A $ jest podziorem domkniętym w $ (X,\sT) $ (odpowiednio otwartym), to rzutowanie $ q\colon (X,\sT) \to (X/\{A\},\sT_*(q)) $ jest odzworowaniem domkniętym (odpowiednio otwartym). Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią metryzowalną, to przestrzeń $ (X/\{A\},\sT_*(q)) $ jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy $ A\subset X $ jest podzbiorem domkniętym.
Zadanie [Bukiet przestrzeni] Niech $ \{X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ będzie rodziną przestrzeni topologicznych i w każdej z nich został wyróśniony punkt $ x_s^0\in X_s $. Bukietem tej rodziny nazywamy przestrzeń ilorazową $ (\coprod\limits_{s\in S} X_s)/\sim $ gdzie $ (x_s,s)\sim (x_{s'},s') $ wtedy i tylko wtedy gdy $ (x_s,s)= (x_{s'},s') $ lub $ x_s = x_s^0 $ i $ x_{s'} = x_{s'}^0 $. Bukiet przestrzeni oznaczamy $ \bigvee\limits_{s\in S} X_s $. Wykazać, że dla dwóch przestrzeni, czyli $ S={1,2} $, istnieje homeomorfizm

$$X_1\vee X_2 \simeq (X_1\times \{x_2^0\})\cup  (\{x_1^0\}\times X_2)$$

gdzie ostatni zbiór rozpatrujemy z topologią podprzestrzeni $ X_1\times \{x_2^0\}\cup  \{x_1^0\}\times X_2\subset X_1\times X_2 $. Wykonać rysunek w przypadku, gdy przestrzenie $ X_1,X_2 $ są prostymi, odcinkami lub okręgami.

Zadanie Niech w rodzinie $ \{X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ każda przestrzeń $ (X_s,\sT_s) $ będzie prostą euklidesową $ (\R,\sT_e) $ a jej punktem wyróznionym będzie $ 0 $. Wykazać, że bukiet $ \bigvee\limits_{s\in S} \R $ jest homeomorficzny z podzbiorem płaszczyzny z metryką kolejową wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $ S $ jest skończony.
Zadanie Stwierdzić, które z następujacych przestrzeni, (przypominających bukiet okręgów) są homeomorficzne, a które nie są homeomorficzne. Dla dowolnego punktu płaszczyzny $ x\in\R^2 $ i liczby $ r>0 $ przez oznaczamy $ S^1(x,r) := \{x'\in\R^2\, |\, ||x-x'||=r\} $ czyli okrąg o srodku w punkcie $ x $ i promieniu $ r $. Przez $ S^1 $ oznaczamy okrąg jednostkowy o środku w $ 0 $, czyli $ S^1:=S^1(0,1) $.

  1. Rozbieżne okręgi, czyli podprzestrzeń płaszczyzny euklidesowej $ X_1 := \bigcup\limits_{n=1}^\infty S^1((n,0),n)\subset\R^2 $
  2. Pawie oczko, czyli podprzestrzeń płaszczyzny euklidesowej : $ X_2= \bigcup\limits_{n=1}^\infty S^1((\frac 1n,0),\frac 1n)\subset\R^2 $
  3. Podprzestrzeń $ X_3 := \{ (z_1,z_2,z_3,\dots )\, |\, \exists_n\forall_{i\neq n} z_i=1\}\subset \prod\limits_{i=1}^\infty S^1 $ gdzie w $ \prod\limits_{i=1}^\infty S^1 $ rozpatrujemy topologię produktu kartezjańskiego;
  4. Bukiet przeliczalnej rodziny okręgów z wyróżnionym punktem $ 1\in S^1 $: $ \bigvee\limits_{i=1}^\infty S^1 $
  5. Przestrzeń ilorazowa prostej euklidesowej: $ \R/\{\Z\} $ gdzie $ \Z\subset\R $ oznacza liczby całkowite.
Zadanie [Ilorazy odcinka] }BCPP Zad. 5.2. Narysuj podzbiory płaszczyzny homeomorficzne z tymi przestrzeniami.
Zadanie [Suma prosta odcinków] Wykazać, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:

  1. $ \R\setminus\Z $ gdzie $ \Z $ oznacza (zawsze) liczby całkowite
  2. $ (0,1)\setminus \{\frac{1}{n}\, |\, n\in\N\} $
  3. $ (0,1)\times\N $ , gdzie $ \N $ - liczby naturalne z topologią dyskretną
  4. $ \coprod\limits_{n=1}^\infty X_i $ gdzie $ \forall_{i\in\N}\, X_i = (0,1) $
Zadanie [Nawijanie prostej na okrąg] Wykaż, że $ p:\R\to S^1 $, gdzie $ S^1:=\{v\in\R^2\, |\, ||v||=1\} = \{z\in\C\,|\, |z|=1\}  $, dane wzorem $ p(t) := (\cos 2\pi t , \sin  2\pi t) = e^{2\pi t}  $ jest odwzorowaniem otwartym (tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte) oraz definuje homeomorfizm odcinka z utożsamionymi końcami z okręgiem: $ [0,1]/\{0\sim 1\} \arr {\bar p} S^1 $. Zauważyć, że $ p:\R\to S^1 $ jest homomorfizmem jeśli grupy addytywnej $ \R $ w grupę multyplikatywną liczb zespolonych o module 1 i definiuje izomorfizm grup $ \R/\Z \to S^1 $ będący jednocześnie homeomorfizmem przestrzeni topologicznych.
Zadanie [Walec] Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne (p.BCPP Zad. 1.39 A)

  1. $ W_1 := \{ (x_1,x_2,x_3)\in\R^3\, |\, |x_1|^2+|x_2|^2 = 1,\, x_3\in\R\} $ (powierzchnia powstała przez obrót prostej $ x_1=1,x_2=0 $ wokół osi $ x_3 $)
  2. $ W_2 := \R^2\setminus \{0\} $
  3. $ W_3 := S^1\times\R $
  4. $ W_4 := [-1,1]\times\R /\sim $ gdzie $ (x,t)\sim (x',t')\, \iff \, |x|=|x'|=1\, t = t' $ lub $ (x,t) = (x',t') $
  5. $ W_5 := \op{Fr} (A),\,  A:= \{ (x_1,x_2,x_3)\in\R^3\, |\, |x_1|^2+|x_2|^2 \leq 1,\, x_3\in\R\} $

Uwaga: Powyżej zdefiniowano ''walec bez brzegu''. Zastępując w punktach a), c), d) prostą $ \R $ odcinkiem $ [-1,1] $ otrzymujemy ''walec z brzegiem (podstawami)''. Nazwa ''walec'' stosowana jest w obu przypadkach.

Zadanie [Wstęga Möbiusa] (Wizualizacja p. Neil Strickland web page) Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:

  1. $ M_1 $ -- powierzchnia w $ \R^3 $ powstała przez obrót odcinka $ x_1=1,x_2=0, -1<x_3<1 $ wokół osi $ x_3 $ z jednoczesnym obrotem tego odcinka o kąt $ \pi $
  2. $ M_2 $ -- przestrzeń ilorazowa $ [-1,1]\times (-1,1)/\sim $ gdzie $ (-1,t)\sim (1,-t), $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.
  3. $ M_3 $ -- przestrzeń ilorazowa walca $ S^1\times (-1,1)/\sim $ gdzie $ (z,t)\sim (-z,-t) $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.

Uwaga: Powyżej zdefiniowano ''wstęgę Möbiusa bez brzegu''. Zastępując w a),b),c) odcinek otwarty $ (-1,1) $ odcinkiem domkniętym $ [-1,1] $ otrzymujemy ''wstegę Möbiusa z brzegiem''. Nazwa ''wstęgę Möbiusa'' jest używana zarówno do wstęgi z brzegiem, jak i bez brzegu.

%\bza [Rozcinanie wstęgi Möbiusa] Udowodnić, że przestrzeń $ U:= M_2\setminus \{[s,0]\,|\, s\in [-1,1]\} $ powstała ze wstęgi Möbiusa $ M $ po usunięciu jej ''równika'' (czyli rozcięciu w połowie tworzącej) jest homeomorficzna z walcem $ W $. A co się stanie jeśli zacząć rozcinać wstęgę Möbiusa w $ \frac{1}{3} $ długości tworzącej?

Zadanie [Torus] (p. BCPP Zad. 1.39 B) (Wizualizacja p. Neil Strickland web page) Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:

  1. $ T_1 $ -- powierzchnia w $ \R^3 $ otrzymaną przez obrót wokół osi $ x_3 $ okręgu położonego w płaszczyźnie $ x_2=0 $, który nie przecina osi $ x_3 $.
  2. $ T_2 := S^1\times S^1 $
  3. $ T_3 $ -- przestrzeń ilorazowa $ [-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (-1,t)\sim (1,t),\, (t,1)\sim (t,-1) $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.