Zadania

Zadanie [Przykłady] Zbadać spójność przestrzeni opisanych w Serii 1, Zad. 1 i Zad. 7.
Zadanie [Odwzorowania ilorazowe i spójność] (#) Jeśli $ p:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest odwzorowaniem ilorazowym takim, że $ \forall_{y\in Y}\, f^{-1}(y) $ jest zbiorem spójnym oraz $ (Y,\sT_Y) $ jest przestrzenią spójną, to $ (X,\sT_X) $ jest przestrzenią spójną.
Zadanie [Kryterium spójności podzbioru] Zbiór $ S $ w przestrzeni $ (X, \sT) $ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych niepustych zbiorów $ A,B $ takich, ze $ S = A\cup B, $ mamy $ \op{cl}(A)\cap B \neq\emptyset $ lub $ A\cap \op{cl}(B) \neq\emptyset . $
Zadanie Niech $ X $ będzie przestrzenią spójną a $ Y\subset X $ jest spójnym podzbiorem. Jesli $ A,B\subset X\setminus Y $ są niepustymi, rozłacznymi podzbiorami otartymi w $ X\setminus Y $ takimi, że $ A\cup B = X\setminus Y $, wtedy zbiory $ Y\cup A $ oraz $ Y\cup B $ są spójne. (p. math.stackexchange.com )
Zadanie [Spójność w $ \R^n $] Wykazać, że jesli $ n>1 $ to dopełnienie dowolnego zbioru przeliczalnego w przestrzeni $ (\R^n,\sT_e) $ jest przestrzenią łukowo spójną.
Zadanie Jeśli $ f:S^n\to [0,1] $ jest przekształceniem ciągłym i $ n>1 $ to przeciwobraz co najwyżej dwóch punktów jest przeliczalny. Czy teza zachodzi dla $ n=1 $?
Zadanie [Spójność i łukowa spójność w $ \R^n $] Udowodnij, że otwarty, spójny podzbiór $ (\R^n,\sT_e) $ jest łukowo spójny.
Zadanie [Klasyfikacja homeomorficzna cyfr] Traktując cyfry $ 0\,1\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8\,9 $ jako podzbiory płaszczyzny euklidesowej, podzielić je na klasy równoważności relacji homeomorfizmu.
Zadanie [Klasyfikacja homeomorficzna liter] Traktując drukowane, wielkie litery $ A,B,C,\dots  $ jako podzbiory płaszczyzny euklidesowej, podzielić je na klasy równoważności relacji homeomorfizmu.
Zadanie [Podzbiory okręgu] Wykazać, że dowolny spójny podzbiór okręgu $ S^1 $ jest homeomorficzny z $ S^1 $ lub jednym z odcinków $ [-1,1], [-1,1), (-1,1) $ i żadne dwie z tych przestrzeni nie są homeomorficzne.
Zadanie [Przestrzeń spójna, która nie jest łukowo spójna] BCPP Zad. 4.19.
Zadanie [Składowe produktu] BCPP Zad. 4.25.