Zadania

Przykłady

Zadanie [Podzbiory płaszczyzny euklidesowej] BCPP Zad. 2.1
Zadanie [Zwarte podzbiory płaszczyzny kolejowej] BCPP Zad. 2.2 (A). Analogicznie, scharakteryzować podzbiory zwarte płaszczyzny ze słabą topologią kolejową tzn. topologią bukietu $ \bigvee\limits_{0\leq\alpha <\pi} (\R,\sT_e) $rodziny kontinuum prostych euklidesowych z $ 0\in\R $ jako punktem wyróżnionym. (p. Seria 3 Zad. 3).
Zadanie [Zwarte podzbiory strzałki] Wykazać, że zwarty podzbiór prostej z topologią strzałki ma puste wnętrze.y, że jeśli $ C\subset\R $ jest zwarty w topologii strzałki to jest zwarty w topologii euklidesowej oraz $ \sT_s|C = \sT_e|C $.
Zadanie [Zwarte podzbiory płaszczyzny Niemyckiego] Wykazać, że jeśli podzbiór płaszczyzny Niemyckiego jest zwarty to jest zwarty w topologii euklidesowej i przecina oś $ \{(x,y)\,|\, y=0\} $ w skończonej liczbie punktów. Podać przykład zbioru spełniającego te warunki, który nie jest zwarty w topologii Niemyckiego. Wykazać, że jeśli $ C\subset\R^2 $ jest zbiorem zwartym w topologii Niemyckiego, to $ \sT_{Niem}|C = \sT_e|C $.
Zadanie [Pawie oczka] Zbadać zwartość przestrzeni opisanych w Serii 3 Zad. 6 oraz scharakteryzować ich zwarte podzbiory.
Zadanie [Zbiór Cantora] BCPP Zad. 2.22

Własności

Zadanie Wykazać, że przestrzeń $ (X,\sT) $ jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy z dowolnego pokrycia zbiorami pewnej bazy $ \sB\subset\sT $ można wybrać pokrycie skończone.
Zadanie [Odstęp między podzbiorami przestrzeni metrycznej] BCPP Zad. 2.9
Zadanie [Oddzielanie podzbiorów zwartych] BCPP Zad. 2.18
Zadanie Niech $ (X,\sT_X) $ będzie przestrzenią Hausdorffa a $ (Y,\sT_Y) $ przestrzenią zwartą. Pokazać, że jeśli $ p\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest przekształceniem domkniętym takim, że $ \forall_{y\in Y}\, f^{-1}(y) $ jest zbiorem zwartym (takie przekształcenia nazywa się doskonałymi) to przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest zwarta. Podać przykład pokazujący, ze założenie domkniętości przekształcenia jest istotne.
Zadanie Wykazać, że przekształcenie doskonałe określone na przestrzeni Hausdorffa jest właściwe tzn. przeciwobrazy zbiorów zwartych są zbiorami zwartymi.
Zadanie Złożenie przekształceń doskonałych między przestrzeniami Hausdorffa jest przekształceniem doskonałym. Jeśli $ f_i:(X_i,\sT_{X_i})\to (Y_i,\sT_{Y_i}) $ są przekształceniami doskonałymi dla $ i=1,2 $, to odwzorowanie $ f_1\times f_2 : X_1\times X_2 \to Y_1\times Y_2 $ jest doskonałe.
Zadanie [Sumy podzbiorów zwartych]BCPP Zad. 2.16
Zadanie [Wykres funkcji] BCPP Zad. 2.17

Uzwarcenie Aleksandrowa

Zadanie [Przestrzeń z jednym punktem skupienia] BCPPZad. 2.20
Zadanie [Modele sfery] Rozpatrzmy zbiór $ S_n:= \R^n \cup \{\infty\} $ i zdefiniujmy w nim topologię jako generowaną przez podzbiory otwarte w $ \R^n $ oraz zbiory postaci $ \{\infty\}\cup (\R^n\setminus K) $ gdzie $ K\subset\R^n $ jest zbiorem zwartym. Udowodnij, że

  1. Przestrzeń $ S_n $ jest zwarta i homeomorficzna ze sferą $ S^n :=\{\vv\in\R^{n+1}\, |\, ||\vv||=1\} $.
  2. Istnieje homeomorfizm $ D^n/S^{n-1} \simeq S^n $, gdzie $ D^n :=\{\vv\in\R^{n}\, |\, ||\vv||\leq 1\} $.

Wskazówka. Jeśli $ (X,\sT_d) $ jest przestrzenią metryzowalną, to dla dowolnego zbioru domkniętego przestrzeń ilorazowa $ X/A $ jest Hausdorffa, a zatem jeśli $ X $ jest zwarta to $ X/A $ jest też zwarta.