1. Strona główna
  2. Topologia I
  3. ZUPEŁNOŚĆ
  4. Zadania

Zadania

Zadanie [Metryka kolejowa i rzeczna] BCPP Zad. 3.2
Zadanie [Metryka całkowa] Czy metryka całkowa, określona w BCPP Zad. 1.7 jest zupełna?
Zadanie [Ciągi liczb naturalnych] Czy przestrzeń określona w BCPP 1.8 jest zupełna ?
Zadanie [Przestrzenie przeliczalne] Zauważyć, że przeliczalna przestrzeń metryczna, która ma więcej niż jeden punkt nie jest spójna, ale może nie mieć punktów izolowanych. Rozwiązać BCPP Zad. 3.6.
Zadanie Jeśli $ f\colon (X,d_X) \to (Y,d_Y) $ jest ciagłą surjekcją oraz $ \exists_{c>0}\forall_{x_1,x_2\in X}\,d_X(x_1,x_2) \leq cd_Y(f(x_1),f(x_2)) $ (w szczególności jeśli $ f $ jest izometrią) to jeśli $ (X,d_X) $ jest zupełna, to $ (Y,d_Y) $ jest zupełna.
Zadanie Jeśli $ (X,d_X) $ jest zupełna, to $ (X,d') $ gdzie $ d' (x_1,x_2) := \min (d_X (x_1,x_2), 1) $ też jest zupełna. Uogólnić ten fakt podając warunki na funkcję $ \phi\colon\R_{\geq 0} \to \R_{\geq 0} $ gwarantujące, że $ d_\phi (x_1,x_2) := \phi (d(x_1,x_2) ) $ jest metryką oraz, że jest zupełna.(p. BCPP Zad. 1.5)
Zadanie [Sumy zbiorów zwartych] BCPP Zad. 3.16
Zadanie [Metryzowalność w sposób zupełny] BCPP Zad. 3.10
Zadanie [Tw. Baire'a] BCPP Zad. 3.13
Zadanie [Tw. Baire'a] BCPP Zad. 3.14
Zadanie [Tw. Baire'a] BCPP Zad. 3.15
Zadanie [Kostka Hilberta] BCPP Zad. 3.23
Zadanie [Kostka Hilberta] BCPP Zad. 3.36
Zadanie [Punkty stałe] BCPP Zad. 3.27
Zadanie [Punkty stałe] BCPP Zad. 3.28