Zadania

Zadanie Przestrzeń $ (X,\sT_X) $ nazywa się ściągalna jesli istnieje punkt $ x_0 $ i odwzorowanie $ H\colon X\times I\to X $ takie, że dla każdego $ x\in X $, $ H(x,0) = x,\, H(x,1) = x_0 $. Wykazać, że:

  1. Jeśli $ (Y,\sT_Y) $ jest homeomorficzna z przestrzenią ściągalną, to jest ściągalna.
  2. Przestrzeń jest ściągalna $ \iff $ jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową.
  3. Jeśli przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest ściągalna do punktu $ x_0 $, to jest ściągalna do dowolnego punktu $ x_1\in X $.
  4. Dowolny gwiaździsty podzbiór $ \R^n $ jest ściągalny.
  5. Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.
  6. Retrakt przestrzeni ściągalnej jest przestrzenią ściągalną.
  7. Produkt kartezjański przestrzeni ściągalnych jest przestrzenią ściągalną. (Uwaga: podprzestrzeń, ani przestrzeń ilorazowa przestrzeni ściągalnej nie muszą być ściągalne).
  8. Każda przestrzeń jest homeomorficzna z podzbiorem domkniętym przestrzeni ściągalnej (stożka nad przestrzenią).
  9. Jeśli jedna z przestrzeni $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ jest ściągalna, to przestrzeń odwzorowań $ (\Map (X,Y),\sT_{co}) $ jest ściągalna.
  10. Jeśli $ A\subset X $ jest podzprzestrzenią ściągalną i istnieje odwzorowanie $ F\colon X\times I \to X $ takie, że dla każdego $ x\in X $, $ H(x,0) = x $, oraz $ \forall_{x\in X} H(x,1) \in A $, to $ X $ jest przestrzenią ściągalną.
Zadanie Dowolne przekształcenie o wartościach w przestrzeni ściągalnej, bądź określone na przestrzeni ściągalnej jest homotopijne z przekształceniem stałym.
Zadanie Jeśli przekształcenia ciągłe $ f_0,f_1\colon (X\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ są homotopijne oraz $ C\subset X $ jest składową łukową przestrzeni $ (X,\sT) $, to istnieje dokładnie jedna składowa łukowa przestrzeni $ (Y,\sT_Y) $ zawierająca zbiór $ f_0(C)\cup f_1(C) $.
Zadanie Niech $ S^n $ oznacza sferę euklidesową a $ S^k\subset S^n $ będzie sferą $ k $--wymiarową włożoną na pierwszych $ (k+1) $ współrzędnych. Wykazać, że dopełnienie $ S^n\setminus S^k $ jest homotopijnie równoważne z $ S^{n-k-1} $ Wskazówka. Zauważyć, że rzut stereograficzny wyznacza homemorfizm $ S^n\setminus S^k \simeq \R^n\setminus \R^k $ a następnie zrzutować ten zbiór na podprzestrzeń prosotpadła do $ \R^k $.
Zadanie BCPP Zad. 6.1.
Zadanie Niech $ w\in\C $ będzie liczbą zespoloną taką, że $ \|w\|\neq 1 $. Dla jakich wartości parametru $ w $ odwzorowania $ \alpha_w\colon S^1\to\C^* $ dane wzorem $ \alpha_w(z) := z+w $ są homotopijne? Obliczyć ich stopień.
Zadanie Niech $ w_1,w_2\in\C $ będą liczbami zespolonymi takimi, że $ \|w_i\|\neq 1 $ dla $ i=1,2 $. Dla jakich wartości parametrów $ w_,w_2 $ odwzorowania $ \alpha_{w_1,w_2}\colon S^1\to\C^* $ dane wzorem $ \alpha_{w_1,w_2}(z) := \frac{z+w_1}{z+w_2} $ są homotopijne? Obliczyć ich stopień.
Zadanie Niech $ n,m\in\Z $ będą liczbami całkowitymi takimi, że $ n\equiv m\mod 2 $. Sprawdzić, że odwzorowanie $ \alpha_{n,m}\colon S^1\to \C^* $ dane wzorem: $ \alpha_{n,m} (z) = \begin{cases} z^n \quad\text{dla}\quad \Im(z)\geq 0\\ z^{m} \quad\text{dla}\quad \Im(z)\leq 0\end{cases} $ jest dobrze określone i znaleźć jego stopień.
Zadanie Dla dowolnego odwzorowania $ \alpha\colon S^1\to\C^* $ oraz liczby zespolonej $ w\in\C^* $ odwzorowania $ \alpha $ i $ \alpha_w(z):=w\alpha (z) $ są homotopijne.
Zadanie Udowodnić, że dowolne przekształcenie $ S^n\to S^1 $ gdzie $ n>1 $ jest homotopijne ze stałym. Wskazówka. Skorzystać z tw. Eilenberga mówiącego, że przekształcenie jest homotopijne ze stałym wtedy i tylko wtedy gdy posiada logarytm. Rozłożyć sferę na górną i dolną półsferę i uzgodnić logarytm na równiku.
Zadanie Znaleźć homeomorfizmy następujących przestrzeni:

  1. ''Przekłutej płaszczyzny'' $ \R^2\setminus\{p\} $, gdzie $ p $ jest dowolnym punktem.
  2. ''Płaszczyzny z dziurą'' $ \R^2\setminus  \bar B(p;r) $, gdzie $ p $ jest dowolnym punktem i $ r>0 $,
  3. ''Płaszczyzny ze szparą'' $ \R^2\setminus [p,q] $ gdzie $ [p,q] := \{(1-t)p + tq  \colon 0\leq t\leq 1\} $ jest odcinkiem domkniętym.
  4. Walca $ S^1\times (-1,1) $.

i wykazać, że każda z nich jest homotopijnie równoważne z okręgiem $ S^1 $ (wskazać homotopijną równoważność w każdym przypadku osobno).

Zadanie [Przekłuta płaszczyzna] Udowodnić, że ''przekłuta płaszczyzna'' $ \R^2\setminus\{p\} $ jest homotopijnie równoważna z $ S^1 $, a płaszczyzna przekłuta $ 2 $-razy tzn $ \R^2\setminus \{p_1, p_2\} $ jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów $ S^1\vee S^1 :=\{(z_1,z_2)\in S^1\times S^1\colon z_1 = 1\,\text{lub}\, z_2 = 1\} $ . Uogólnić to na płaszczyznę przekłutą $ n $-razy tzn. $ \R^2\setminus\{p_1,\dots ,p_n\} $. A co będzie jeśli zamiast płaszczyznę rozpatrywać przekłutą sferę $ S^2 $ ?
Zadanie (#)[Wstęga Möbiusa] Skonstruować retrakcję wstęgi Möbiusa (zarówno otwartej jak i domkniętej) na jej równik i wykazać, że jest ona homotopijną równoważnością.