Zadania

Zadanie (#) [Płaszczyzna rzutowa ]

  1. Wykazać, że ''przekłuta'' płaszczyzna rzutowa jest homotopijnie równoważna z okręgiem, a nawet homeomorficzna z otwartą wstęgą Möbiusa. Wskazówka. W modelu 1) lub 2) wyciąć po środku małe domknięte kółko i metodą rozcinania i sklejania pokazać homeomrofizm ze wstęgą Möbiusa. W modelu 3) wyciąć w sferze $ S^2 $ małe otoczenie bieguna północnego i południowego.

  2. Znaleźć rozkład płaszczyzny rzutowej na sumę podzbiorów   $ \RP2 = M_1\cup M_2 $ takich, że $ M_1 $ jest homeomorficzny z kołem domkniętym $ \bar B(0,1) $, $ M_2 $ z domkniętą wstęgą Möbiusa a $ M_1\cap M_2 $ z okręgiem $ S^1 $.
Zadanie [Torus]

  1. Wykazać, że przekłuty torus jest homotopijnie równoważny z bukietem dwóch okręgów $ S^1\vee S^1 $.
  2. Znaleźć rozkład torusa $ T = M_1\cup M_2 $ na sume dwóch domkniętych podprzestrzeni takich, że $ M_1 $ jest homotopijnie równoważne z bukietem $ S^1\vee S^1 $, $ M_2 $ jest homeomorficzne z domkniętym kołem $ \bar B(0,1) $ a $ M_1\cap M_2 $ jest homeomorficzne z okręgiem .
Zadanie [Butelka Kleina] Butelkę Kleina definiujemy jako przestrzeń ilorazową $ B:=[-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (1,t)\sim (-1,-t) $ oraz $ (s,1)\sim (s,-1) $.

  1. Zauważyć, że: $ B $ jest przestrzenią zwartą i spójną i dowolny jej punkt ma otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $. Zauważyć, że przekłuta butelka Kleina jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów $ S^1\vee S^1 $.
  2. Znaleźć rozklad butelki Kleina na sumę podzbiorów $ B=M_1\cup M_2 $ z których każdy jest homeomorficzny z domkniętą wstęgą Möbiusa, a $ M_1\cap M_2 $ z okręgiem $ S^1 $.
Zadanie Przedstawmy wstęgę Möbiusa jako przestrzeń ilorazową walca $ S^1\times [-1,1] $ w którym utożsamiono punkty antypodyczne $ (z,t)\sim (-z,-t) $. Zauważ, że rzutowanie na równik wstęgi $ p\colon M\to S^1 $ jest dane wzorem $ p([z,t]) = z^2 $ i udowodnij, że jest homotopijną równoważnością.
Zadanie Wykaż, że płaszczyzna rzutowa $ \RP(2) := S^2/ \{x\sim -x\} $ po usunięciu punktu jest homeomorficzna ze wstegą Möbiusa, a zatem homotopijnie równoważna z okręgiem. Wywnioskuj stąd, że płaszczyzna rzutowa nie jest homeomorficzna ze sferą.
Zadanie Wykazać, że (otwarta) wstęga Möbiusa nie jest homeomorficzna z walcem $ S^1\times (-1,1) $. Wskazówka. Jednopunktowe uzwarcenia tych przestrzeni, czyli $ \RP2 $ i $ S^1\times [-1,1]/A $ gdzie \newline $ A:=S^1\times\{0\}\cup S^1\times\{1\} $ nie są homeomorficzne.
Zadanie Wykazać, że domknięta wstęga Möbiusa nie jest homeomorficzna z walcem $ S^1\times [-1,1] $. Wskazówka. Wskazać punkty wstęgi Möbiusa i walca, po których usunięciu są one nadal homotopijnie równoważne z okręgiem i takie, których usunięcie zmienia typ homotopii.
Zadanie Wykazać, że przekłuty torus i przekłuta butelka Kleina są homotopijnie równoważne (z $ S^1\vee S^1 $), ale nie są homeomorficzne. Wywnioskować stąd, że butelka Kleina nie jest homeomorficzna z żadną z następującycy przestrzeni: sferą, torusem, płaszczyną rzutową. Wskazówka. Porównać grupy kohomologii.