Zbiory domknięte

Definicja Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się domknięty (w topologii $ \sT $) jeśli $ X\setminus A\in\sT $. Rodzinę podzbiorów domkniętych oznaczamy $ \sF_{\sT} $.

Zauważmy, że odwzorowanie $ -^c : {\cal P}(X)\to {\cal P}(X) $ przypisujące każdemu zbiorowi jego dopełnienie ustala bijekcję między rodziną zbiorów otwartych $ \sT $ i rodziną zbiorów domkniętych $ \sF_\sT $.

Ze wzorów De Morgana (Madurai, Tamil Nadu, India 1806 - 1871 London, UK) wynikają następujące własności rodziny zbiorów domkniętych $ \sF_\sT $, dwoiste do własności rodziny zbiorów otwartych $ \sT $, wymienionych w Definicji [link] :

  1. $ X,\, \emptyset\in\sF_\sT $,
  2. Dla dowolnej skończonej rodziny $ \{A_i\}_{i\in I}\subset\sF_\sT $ suma mnogościowa   $ \bigcup_{i\in I}A_i\in\sF_\sT $,
  3. Dla dowolnej rodziny $ \{A_i\}_{i\in I}\subset\sF_\sT $ ich część wspólna $ \bigcap_{i\in I}A_i\in\sF_\sT $ .

Odnotujmy fakty dotyczące ciągłości odwzorowań w terminach zbiorów domkniętych, analogiczne do sformułowanych poprzednio dla zbiorów otwartych.

  1. Przeształcenie $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy przeciwobraz $ f^{-1}(B) $ dowolnego podzbioru domknietego $ B\subset Y $ jest domknięty w $ X $.
  2. Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru domkniętego jest zbiorem domkniętym.
  3. Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą bijekcją taką, że dla dowolnego zbioru domkniętego $ A\subset X $ jego obraz $ f(A)\subset Y $ jest zbiorem domkniętym to $ f $ jest homeomorfizmem.