Omawiając konstrukcje przestrzeni topologicznych (Rozdział 4) zauważalismy które z nich zachowują metryzowalność, pokazując w jaki sposób mogą być przeprowadzane na przestrzeniach metrycznych. W przypadku podprzestrzeni było to po prostu obcięcie metryki, przestrzenie ilorazowe przestrzeni metryzowalnych nie są często metryzowalna, a nawet jeśli są nie dziedziczą naturalnej metryki. W przypadku nieskończonego produktu kartezjańskiego i sumy rozłącznej wyjściowe metryki musiały być zamienione na metryki ograniczone z gory przez 1. Zauważmy jednak, że jeśli jest przestrzenią metryczną, to metryka ''obcięta''
nie tylko wyznacza tę samą topologię, co
, ale także wyznacza tę samą klasę ciągów Cauchy, a więc jeśli
jest zupełna to i
jest zupełna.


















![]() |
gdzie (W przypadku skończonego produktu
można metrykę zdefiniować prościej:
)
Jeśli produkt jest przestrzenią zupełną, to dowolna podprzestrzeń
(z zatem też
jest zupełna bowiem jest izometryczna z podzbiorem domkniętym
(p.Lemat [link].
Odwrotnie, załóżmy że wszystkie przestrzenie są zupełne. Niech
będzie ciągiem Cauchy. Z definicji metryki produktowej wynika, że dla każdego
ciąg
jest ciągiem Cauchy w
, a więc jest zbieżny do pewnego punktu
. Pokażemy, że ciąg
jest zbieżny do
. Niech
, dla dostatecznie dużych
i
zachodzą nierówności:
![]() |
□