Zupełność a konstrukcje przestrzeni metrycznych | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Omawiając konstrukcje przestrzeni topologicznych (Rozdział 4) zauważalismy które z nich zachowują metryzowalność, pokazując w jaki sposób mogą być przeprowadzane na przestrzeniach metrycznych. W przypadku podprzestrzeni było to po prostu obcięcie metryki, przestrzenie ilorazowe przestrzeni metryzowalnych nie są często metryzowalna, a nawet jeśli są nie dziedziczą naturalnej metryki. W przypadku nieskończonego produktu kartezjańskiego i sumy rozłącznej wyjściowe metryki musiały być zamienione na metryki ograniczone z gory przez 1. Zauważmy jednak, że jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną, to metryka ''obcięta'' $d'(x,y) := \min (d(x,y),1)$ nie tylko wyznacza tę samą topologię, co $d$ , ale także wyznacza tę samą klasę ciągów Cauchy, a więc jeśli $d$ jest zupełna to i $d'$ jest zupełna.

Stwierdzenie [Podprzestrzenie zupełne] Jeśli podprzestrzeń przestrzeni metrycznej jest zupełna, to jest domknięta. Dowolna domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej jest zupełna.

Dowód: Jeśli $A\subset X$ jest podzbiorem przestrzeni metrycznej $(X,d)$ takim, że przestrzeń metryczna $(A,d|A)$ jest zupełna. Niech $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ będzie ciągiem elementów $A$ zbieżnym do elementu $x_0\in A$ . Skoro $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ jest zbieżny w $(X,d)$ , to jest ciągiem Cauchy, a więc posiada granicę w $A$ . Ponieważ każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę, $x_0\in A$ , a więc $A$ jest zbiorem domknętym. Jeśli podprzestrzeń $(A,d|A)\subset (X,d)$ przestrzeni zupełnej jest domknięta to dowolny ciąg Cauchy $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ posiada granicę w $X$ , która na mocy domkniętości $A$ należy do $A$ . □

Stwierdzenie [Zupełność produktu] Przeliczalny (w tym skończony) produkt produkt przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki są przestrzeniami zupełnymi.

Dowód: Niech $\{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty}$ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. Przypomnijmy, że w zbiorze $\prod\limits_{i=1}^\infty X_i$ definiujemy metrykę:

$d'(x,y) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x_i,y_i)$

gdzie $d'_i(x_i,y_i) := \min (d_i(x_i,y_i),1).$ (W przypadku skończonego produktu $(X_1,d_1)\times\dots\times (X_k,d_k),$ można metrykę zdefiniować prościej: $d(x,y) := \sum\limits_{i=1}^k d(x_i,y_i).$ )

Jeśli produkt $\prod\limits_{i=1}^\infty X_i$ jest przestrzenią zupełną, to dowolna podprzestrzeń $(X,d_i')$ (z zatem też $(X,d_i)$ jest zupełna bowiem jest izometryczna z podzbiorem domkniętym $\prod\limits_{i=1}^\infty X_i$ (p.Lemat [link].

Odwrotnie, załóżmy że wszystkie przestrzenie $\{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty}$ są zupełne. Niech $\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$ będzie ciągiem Cauchy. Z definicji metryki produktowej wynika, że dla każdego $k\in\N$ ciąg $\{x^n_k\}_{n=1}^{\infty}$ jest ciągiem Cauchy w $(X_k,d_k)$ , a więc jest zbieżny do pewnego punktu $x^0_k$ . Pokażemy, że ciąg $\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$ jest zbieżny do $x^0$ . Niech $\epsilon >0$ , dla dostatecznie dużych $N$ i $n>N$ zachodzą nierówności:

$d'(x^n,x^0) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x^n_i,x^0_j) \leq \sum\limits_{i=1}^N \frac{1}{2^i}d'(x^n_i,x^0_j) +\frac 12 \epsilon \leq \frac 12 \epsilon + \frac 12 \epsilon = \epsilon$

□

Stwierdzenie [Zupełność sumy] Suma rozłączna przestrzeni zupełnych jest przestrzenią zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki są przestrzeniami zupełnymi.