Zupełność a konstrukcje przestrzeni metrycznych

Omawiając konstrukcje przestrzeni topologicznych (Rozdział 4) zauważalismy które z nich zachowują metryzowalność, pokazując w jaki sposób mogą być przeprowadzane na przestrzeniach metrycznych. W przypadku podprzestrzeni było to po prostu obcięcie metryki, przestrzenie ilorazowe przestrzeni metryzowalnych nie są często metryzowalna, a nawet jeśli są nie dziedziczą naturalnej metryki. W przypadku nieskończonego produktu kartezjańskiego i sumy rozłącznej wyjściowe metryki musiały być zamienione na metryki ograniczone z gory przez 1. Zauważmy jednak, że jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną, to metryka ''obcięta'' $ d'(x,y) := \min (d(x,y),1) $ nie tylko wyznacza tę samą topologię, co $ d $, ale także wyznacza tę samą klasę ciągów Cauchy, a więc jeśli $ d $ jest zupełna to i $ d' $ jest zupełna.

Stwierdzenie [Podprzestrzenie zupełne] Jeśli podprzestrzeń przestrzeni metrycznej jest zupełna, to jest domknięta. Dowolna domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej jest zupełna.
Dowód: Jeśli $ A\subset X $ jest podzbiorem przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ takim, że przestrzeń metryczna $ (A,d|A) $ jest zupełna. Niech $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem elementów $ A $ zbieżnym do elementu $ x_0\in A $. Skoro $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ jest zbieżny w $ (X,d) $ , to jest ciągiem Cauchy, a więc posiada granicę w $ A $. Ponieważ każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę, $ x_0\in A $, a więc $ A $ jest zbiorem domknętym. Jeśli podprzestrzeń $ (A,d|A)\subset (X,d) $ przestrzeni zupełnej jest domknięta to dowolny ciąg Cauchy $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ posiada granicę w $ X $, która na mocy domkniętości $ A $ należy do $ A $. □
Stwierdzenie [Zupełność produktu] Przeliczalny (w tym skończony) produkt produkt przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki są przestrzeniami zupełnymi.
Dowód: Niech $ \{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty} $ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. Przypomnijmy, że w zbiorze $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ definiujemy metrykę:

$$d'(x,y) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x_i,y_i)$$

gdzie $ d'_i(x_i,y_i) := \min (d_i(x_i,y_i),1). $ (W przypadku skończonego produktu $ (X_1,d_1)\times\dots\times (X_k,d_k), $ można metrykę zdefiniować prościej: $ d(x,y) := \sum\limits_{i=1}^k d(x_i,y_i). $)

Jeśli produkt $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ jest przestrzenią zupełną, to dowolna podprzestrzeń $ (X,d_i') $ (z zatem też $ (X,d_i) $ jest zupełna bowiem jest izometryczna z podzbiorem domkniętym $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ (p.Lemat [link].

Odwrotnie, załóżmy że wszystkie przestrzenie $ \{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty} $ są zupełne. Niech $ \{x^n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem Cauchy. Z definicji metryki produktowej wynika, że dla każdego $ k\in\N $ ciąg $ \{x^n_k\}_{n=1}^{\infty} $ jest ciągiem Cauchy w $ (X_k,d_k) $, a więc jest zbieżny do pewnego punktu $ x^0_k $. Pokażemy, że ciąg $ \{x^n\}_{n=1}^{\infty} $ jest zbieżny do $ x^0 $. Niech $ \epsilon >0 $, dla dostatecznie dużych $ N $ i $ n>N $ zachodzą nierówności:

$$d'(x^n,x^0) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x^n_i,x^0_j) \leq \sum\limits_{i=1}^N \frac{1}{2^i}d'(x^n_i,x^0_j) +\frac 12 \epsilon \leq  \frac 12 \epsilon + \frac 12 \epsilon = \epsilon$$

Stwierdzenie [Zupełność sumy] Suma rozłączna przestrzeni zupełnych jest przestrzenią zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki są przestrzeniami zupełnymi.