ZWARTOŚĆ

Zbiory zwarte w przestrzeni kartezjańskiej to takie, które są jednocześnie domknięte i ograniczone, czyli zawarte w pewnej kuli. Ważną własnością takich zbiorów jest to, że dowolna funkcja rzeczywista na nich określona przybiera swoje kresy. Podana definicja zwartości wymaga jednak metryki; co więcej zbiór ograniczony w jednej metryce nie musi być ograniczony w innej, wyznaczającej tę samą topologię. Z Analizy Matematycznej znana jest ciągowa definicja zwartości; ona jednak także wymaga wyboru metryki. Okazuje się jednak, że własność zwartości ma charakter topologiczny, a więc może być zdefiniowana jedynie w terminach topologii, a znane z Analizy Matematycznej własności zbiorów zwartych i funkcji na nich określonych przenoszą się na znacznie ogólniejszy kontekst.