Zwartość a operacje na przestrzeniach

Podprzestrzenie

Twierdzenie

  1. Jeśli podprzestrzeń w przestrzeni Hausdorffa $ (A,\sT|A)\subset (X,\sT) $ jest zwarta to $ A\subset X $ jest podzbiorem domkniętym.
  2. Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią zwartą i $ A\subset X $ podzbiorem domkniętym, to przestrzeń $ (A,\sT|A) $ jest zwarta.
Dowód: Ad 1. Załóżmy, że $ (A,\sT|A)\subset (X,\sT) $ jest zwarta i niech $ x\notin A. $ Wtedy dla każdego punktu $ a\in A $ istnieją rozłączne otoczenia $ U_a\ni a $ oraz $ V_a\ni x. $ Zbiory $ \{U_a\cap A\}_{a\in A} $ tworzą otwarte pokrycie $ A $, a więc można z niego wyjąć pokrycie skończone $ U_{a_1}\cup\dots\cup U_{a_n}\supset A $. Przecięcie $ V := V_{a_1}\cap\dots\cap V_{a_n} $ jest rozłączne z $ U_{a_1}\cup\dots\cup U_{a_n} $, a zatem $ x\in V\subset X\setminus A $.

Ad 2. Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią zwartą, a $ A\subset X $ jesj podzbiorem domkniętym. Z Stw. [link] wiemy, że $ (A,\sT|A) $ jest przestrzenią Hausdorffa. Rozpatrzmy więc pokrycie otwarte $ \{V_s\}_{s\in S} $ przestrzeni $ (A,\sT|A) $. Z definicji topologii podprzestrzeni wynika, ze istnieją zbiory $ U_s\in\sT $ takie, że $ V_s = U_s\cap A $. Rozpatrzmy pokryciem otwarte przestrzeni $ X $ zbiorami $ \{V_s\}_{s\in S} \cup \{X\setminus A\}. $ Ponieważ $ (X,\sT) $ jest zwarta z tego pokrycia można wybrać pokrycie skończone, a więc skończoną liczbe zbiorów $ U_{s_1}\cup\dots\cup U_{s_n}\supset A $ co kończy dowód. □

Z ostatniego twierdzenia wynikaja wnioski bardzo użyteczne przy sprawdzaniu, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne.

Stwierdzenie Niech $ f:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ będzie odwzorowaniem ciagłym określonym na przestrzeni zwartej $ (X,\sT_X) $ o wartościach w przestrzeni Hausdorffa $ (Y,\sT_Y) $. Wtedy:

  1. odwzorowanie $ f $ jest domknięte (a więc ilorazowe);
  2. jeśli $ f $ jest bijekcją, to jest homeomorfizmem. □
Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_1) $ jest przestrzenią zwartą a $ \sT_2 $ topologią Hausdorffa w $ X $ taką, że $ \sT_2\subset\sT_1 $, to $ \sT_2 = \sT_1. $

Iloczyn kartezjański

Twierdzenie (#) [A. N. Tikhonov ] Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki $ (X_s,\sT_s) $ są przestrzeniami zwartymi.

Zanim przejdziemy do dowodu twierdzenia Tichonowa sformułujemy bardzo ważny, mający wiele zastosowań lemat o tubie.

Lemat [Lemat o tubie](#) Niech $ (X,\sT_X) $ bedzie dowolną przestrzenią topologiczną, a $ (Y,\sT_Y) $ przestrzenią zwartą. Dla dowolnego punktu $ x_0\in X $ i zbioru otwartego w iloczynie kartezjańskim $ W\supset \{x_0\}\times Y $ istnieje otocznie otwarte $ U\ni x_0 $ takie, że   $ W\supset U\times Y\supset \{x_0\}\times Y $.
Dowód: Dla każdego punktu $ (x_0,y)\in \{x_0\}\times Y $ istnieją otoczenia $ U_y\ni x_0 $ oraz $ V_y\ni y $ takie, że $ (x_0,y)\in U_y\times V_y \subset W $. Zbiory $ \{V_y\}_{y\in Y} $ tworzą otwarte pokrycie przestrzeni $ Y $, a więc mozna zeń wyjąć pokrycie skończone: $ V_{y_1}\cup\dots\cup V_{y_n} = Y. $ Zbiór $ U := U_{y_1}\cap\dots\cap U_{y_n} $ jest otoczeniem $ x_0 $ i oczywiście dla każdego $ y_i $, $ U\times V_{y_i} \subset W $ a zatem $ U\times Y \subset W $. □

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_zwartosc_tuba.jpg}}

Stwierdzenie (#) Niech $ (X,\sT_X) $ bedzie dowolną przestrzenią topologiczną, a $ (Y,\sT_Y) $ przestrzenią zwartą. Wtedy projekcja $ p_X: (X\times Y, \sT^*) \to (X,\sT_X) $ jest przekształceniem domkniętym.
Dowód: Niech $ A\subset X\times Y $ będzie zbiorem domkniętym. Żeby wykazać, że $ p_X(A)\subset X $ jest domknięty trzeba sprawdzic, że dla każdego $ x\notin p_X(A) $ istnieje otoczenie $ U\ni x $ takie, że \newline $ U\cap p_X(A) = \emptyset $ tzn. $ p_X^{-1}(U)\cap A = \emptyset $. Oczywiście $ p_X^{-1}(U) = U\times Y $, a więc wystarczy zastosować Lemat o tubie [link] do zbioru otwartego $ X\times Y\setminus A $ oraz punktu $ x\notin p_X(A) $. □

Kolejne twierdzenie jest analogiczne do udowodnionego wcześniej stwierdzenia [link] dotyczącego spójności.

Twierdzenie (#) Jeśli $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest przekształceniem domkniętym takim, że $  (X,\sT_X) $ jest przestrzenią Hausdorffa, $ (Y,\sT_Y) $ jest zwarta i dla każdego $ y\in Y $ przeciwobraz $ f^{-1}(y) $ jest zbiorem zwartym, to przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest zwarta.
Dowód: Niech $ \{U_s\}_{s\in S} $ będzie pokryciem otwartym $ X $. Dla każdego punktu $ y\in Y $ istnieje skończony podzbiór $ S_y\subset S $ taki, że $ \bigcup\limits_{s\in S_y}U_s\supset f^{-1}(y). $ Ponieważ $ f $ jest domkniete, więc istnieje $ V_y\ni y $ takie, że $ f^{-1}(V_y)\subset \bigcup\limits_{s\in S_y}U_s $. Zbiory $ \{V_y\}_{y\in Y} $ tworzą pokrycie przestrzeni $ Y $, zatem można z niego wybrać pokrycie skończone $ V_{y_1},\dots V_{y_n} $. Zbiory $ \{U_s\}_{s\in S'} $ gdzie $ S' := S_{y_1}\cup\dots \cup S_{y_n} $ tworzą pokrycie skończone $ X $. □

Wywnioskujemy teraz tezę twierdzenia Tichonowa dla skończonych rodzin przestrzeni.

Stwierdzenie Iloczyn kartezjański skończonej rodziny przestrzeni topologicznych $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki $ (X_s,\sT_s) $ są przestrzeniami zwartymi.
Dowód: Jak zauważylismy wcześniej zwartość iloczynu pociąga zwartośc czynników. Odwrotnie, skoro rodzina przestrzeni jest skończona wystarczy wykazać tezę dla iloczynu dwóch przestrzeni. Wynika ona natychmiast z Wniosku [link] oraz Twierdzenia [link].□

Twierdzenie Tichonowa [link] w pełnej ogólności jest równoważne pewnikowi wyboru w teorii mnogości, a jego dowód wymaga zastosowania lematu Kuratowskiego-Zorna [p. BCPP Rozdział 7.3].

Przestrzeń ilorazowa i suma prosta

Zachowanie zwartości przy pozostałych dwóch operacjach jest znacznie łatwiejsze do sprawdzenia.

Przestrzeń ilorazowa przestrzeni zwartej jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią Hausdorffa (p. Stw. [link]).

Natomiast suma prosta $ \coprod_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przestrzenie $ X_s $ są zwarte oraz $ X_s\neq\emptyset $ tylko dla skończenie wielu $ s\in S. $