01. Podstawy matematyki według Euklidesa

 

1. Zmieniające się postrzeganie podstaw matematyki

Wspólnym mianownikiem aktywności matematycznej jest pisanie dowodów, czyli rozumowań, które wychodzą od zbioru ustalonych przesłanek i doprowadzają do twierdzeń, czyli wniosków wypływajacych z tych przesłanek. Tym matematyka różni się od księgowości, informatyki, fizyki albo nauk inżynierskich. Obecność dowodów i koncentracja na procesie dowodzenia wyróżnia tekst matematyczny. “Elementy” Euklidesa można uznać za pierwszy “Wstęp do Matematyki”, gdyż ten napisany około 2300 lat temu 13-to ksiąg składa się z dowodów twierdzeń wyprowadzonych z ustalonych definicji, postulatów i aksjomatów. Przykładowo, w pierwszym tomie Euklides podaje 23 definicje, 5 postulatów i 9 aksjomatów odnoszących się do geometrii płaszczyzny.

Rysuje się zatem fundamentalna w matematyce wątpliwość, kiedy możemy być usatysfakcjonowani dowodem matmatycznym. W XIX wieku i wcześniej matematykom na ogół wystarczało, że ich nowe dowody były dostatecznie podobne do dowodów Euklidesa i dowodów prezentowanych przez innych znanych matematyków na przestrzeni dziejów. Zatem dowód matematyczny to była wyspecjalizowana konstrukcja językowa, dzięki której matematycy komunikowali się między sobą i upewniali się, że ich argumentacja jest rozumiana i akceptowana przez innych matematyków. Ta konstrukcja językowa podlega podobnym ograniczeniom, jak na przykład język przyjęty w przewodach sądowych, lub też mieszanka łaciny i języka polskiego używana w medycynie z tym, że specyficzną cechą dowodu matematycznego ma być niezawodność rozumiana w ten sposób, że wnioski są prawdziwe przy założeniu prawdziwości przesłanek.

W czasach współczesnych dowody matematyczne mogą służyć także innym celom niż tylko komunikacja między matematykami. W niektórych sferach aktywności ludzkiej chcielibyśmy mieć możliwie daleko posunięta pewność, że wszystko przebiega zgodnie z planem. Odnosi się to do obronności, kryptografii, finansów, aeronautyki, gdyż tam pomyłki mogą być bardzo kosztowne.

W powyższych przykładach matematyka może pomóc w uzyskaniu takiej pewności, gdyż chcemy w nich weryfikować, że dane urządzenie lub program komputerowy pracują dokładnie zgodnie ze specyfikacją, a to podlega opisowi matematycznemu i może być przedmiotem matematycznych dowodów.

Można sobie wyobrazić, że lekturą dowodu matematycznego pokazującego “poprawność rakiety”może zająć się generał albo zatrudniony przez niego matematyk. Scenariusz ten można posunąć jeszcze dalej, gdyż dowody matematyczne przedstawiane są w sformalizowanym i precyzyjnym języku, który można uczynić zrozumiałym dla komputera. Chodzi tu zatem o sytuację, w której dowód jest wymyślany przez człowieka, natomiast czytany i weryfikowany nie tylko przez innych ludzi, ale także przez komputer. Wysiłki związane z formalizacją całej matematyki sięgają początku dwudziestego wieku i nasz przedmiot je podsumowuje w skróconej formie. Ten proces formalizowania matematyki do pewnego stopnia można uznać za zamknięty w tym sensie, że udało się ustalić, co formalizacja może nam dać, a na co nie możemy liczyć. Najbardziej intersujące wnioski, jakie matematykom udało się osiągnąć przez ostatnie sto lat to tw. K. Gödla o niezupełnościtwierdzenie P. Cohena o niezależności pewnych zdań matematycznych od “reszty” matematyki, a także zainpirowanie infomatyki odnośnie poszukiwania własnych podstaw, czego pokłosiem jest hipoteza milejnijna P vs NP. Jedną z konsekwencji tw. Gödla o niezupełności jest konkluzja, że przy bardziej skomplikowanych dowodach komputer może co prawda zweryfikować poprawność naszej argumentacji, ale nie możemy liczyć na to, że znajdzie za nas dowód twierdzenia1.

2. Wybiórcze przedstawienie definicji, postulatów i aksjomatów Euklidesa

Przedstawiam poniżej wybrane definicje, postulaty i aksjomaty z pierwszej księgi “Elementów”Euklidesa, ograniczając się do tych, które będą potrzebne w podanych niżej przykładach. Szerszy zakres definicji, postulatów i aksjomatów może się przydać na ćwiczeniach i podczas odrabiania pracy domowej.

Postulat 1. Niech będzie wymagane, aby: poprowadzić prostą od każdego punktu do każdego punktu.

Postulat 2. Niech będzie wymagane, aby: skończoną prostą przedłużyć w sposób ciągły po prostej.

Postulat 3. Niech będzie wymagane, aby: narysować koło o dowolnym środku i promieniu.

Definicja 15. Kołem jest figura płaska zawarta w obrębie jednej linii zwanej okręgiem, takiej, że wszystkie proste spadające na nią z jednego spośród punktów wewnątrz figury są sobie równe.

Definicja 20. Wśród figur trójbocznych, równobocznym jest trójkąt mający trzy równe boki, równoramiennym – mający jedynie dwa równe boki, a nierównoramiennym – mający trzy nierówne boki.

Aksjomat 1. Rzeczy równe temu samemu są też sobie równe.

Aksjomat 3. Jeśli od rzeczy równych odjąć równe, części pozostałe będą równe.

Poza zależnościami od aksjomatów, w “Elementach”pojawiają się także zależności od poprzednich wyników udowodnionych przez Euklidesa. Uzyskujemy w ten sposób dość skomplikowane drzewo zależności.

3. Przykłady dowodów

3.1. Przykład 1

Jako pierwszy przykład dowodu aksjomatycznego przestudiujemy Zagadnienie 1 z “Elementów” Euklidesa 2. Zagadnienie to w polskim tłumaczeniu L.A. Kołodziejczyka i R. Szczepkowskiego mówi, żeby

Na danej prostej skończonej skonstruować trójkąt równoboczny.

W nieco bardziej współczesnym języku

Zagadnienie 1. Dla danych punktów $A,B$ można skonstruować trójkąt równoboczny, którego bokiem jest odcinek z $A$ do $B$.

stw1


Figure 1. Ilustracja konstrukcji w dowodzie Zagadnienia 1.

Oryginalny dowód przedstawia się następująco

Niech daną prostą skończoną będzie AB. Na prostej AB należy teraz skonstruować trójkąt równoboczny. Narysujmy koło BCD o środku A i promieniu AB. Dalej, narysujmy koło ACE o środku B i promieniu BA. Z punktu C, w którym przecinają się te koła, pociągnijmy proste CA, CB do punktów A, B. Ponieważ punkt A jest środkiem koła CDB, prosta AC jest równa AB. Dalej, ponieważ punkt B jest środkiem koła CAE, prosta BC jest równa BA. Wykazaliśmy jednak, że również CA jest równe AB. Obie proste CA, CB są więc równe AB. Rzeczy równe zaś temu samemu są też sobie równe. Również CA jest więc równe CB. Wszystkie trzy proste CA, AB, BC są więc sobie równe. Trójkąt ABC jest więc równoboczny i został skonstruowany na danej prostej skończonej AB. Na danej prostej AB skonstruowaliśmy więc trójkąt równoboczny. Co należało wykonać

Aby uzasadnić

Niech daną prostą skończoną będzie AB. Na prostej AB należy teraz skonstruować trójkąt równoboczny. Narysujmy koło BCD o środku A i promieniu AB. Dalej, narysujmy koło ACE o środku B i promieniu BA.

dwukrotnie korzystamy z Postulatu 3. Następnie aby uzsadnić kolejny fragment dowodu

Z punktu C, w którym przecinają się te koła, pociągnijmy proste CA, CB do punktów A, B.

korzystamy z Postulatu 1. Następnie korzystamy z Definicji 15 aby uzasadnić, że

Dalej, ponieważ punkt B jest środkiem koła CAE, prosta BC jest równa BA. Wykazaliśmy jednak, że również CA jest równe AB. Obie proste CA, CB są więc równe AB.

Z Aksjomatu 1 wnioskujemy, że

Rzeczy równe zaś temu samemu są też sobie równe. Również CA jest więc równe CB. Wszystkie trzy proste CA, AB, BC są więc sobie równe.

Stąd na mocy Definicji 20 wnioskujemy, że trójkąt o wierzchołkach $A$, $B$, $C$ jest równoboczny.

3.2. Przykład 2

Jako drugi przykład dowodu aksjomatycznego przestudiujemy Zagadnienie 2 z “Elementów” Euklidesa. Zagadnienie to w polskim tłumaczeniu L.A. Kołodziejczyka i R. Szczepkowskiego mówi, że

W danym punkcie położyć prostą równą danej prostej.

W nieco bardziej współczesnym języku moglibyśmy to zagadnienie sformułować następująco

Zagadnienie 2. Dla danych punktów $A,B,C$ można skonstruować punkt $L$ taki, że odcinek z $B$ do $C$ jest równy odcinkowi z $A$ do $L$.

Oryginalny dowód Euklidesa przedstawia się następujco

Niech danym punktem będzie A, a daną prostą BC. Należy teraz położyć w punkcie A prostą równą danej prostej BC.

Pociągnijmy z punktu A do punktu B prostą AB i skonstruujmy na niej trójkąt równoboczny DAB.

W tym miejscu korzystamy z Zagadnienia 1. Zauważamy następnie, że z Postulatu 2 dopuszczalne jest

Przedłużmy DA, DB po prostej prostymi AE, BF.

Dwukrotnie wykorzystujemy Postulat 3 aby uzasadnić, że

Narysujmy koło CGH o środku B i promieniu BC. Dalej narysujmy koło GLK o środku D i promieniu DG.

Następnie korzystamy z Definicji 15:

Ponieważ punkt B jest środkiem koła CGH, prosta BC jest równa BG. Dalej, ponieważ punkt D jest środkiem koła GLK, prosta DL jest równa DG, z czego DA jest równe DB.

Wykorzstujemy Aksjomat 3 który pozwala na usunięcie z dwóch równych sobie odcinków innych równych sobie odcinków— po tej operacji usuwania ciagle mamy do dyspozycji dwa równe odcinki, w tym wypadku AL i BC.

Pozostałe AL jest więc równe pozostałemu BG. Wykazaliśmy jednak, że również BC jest równe BG.

Wykorzystujemy Aksjomat 1 aby uzsadnić, że

Obie proste AL, BC są więc równe BG. Rzeczy równe zaś temu samemu są też sobie równe. Również AL jest więc równe BC. W danym punkcie A położyliśmy więc prostą AL równą danej prostej BC. Co należało wykonać.

stw2


Figure 2. Ilustracja konstrukcji w dowodzie Zagadnienia 2.

4. Zadanie do przemyślenia, ewentualnie do zrobienia na ćwiczeniach

Rozłożyć na czynniki jedno z poniższych zagadnień:

Zagadnienie 3

Zagadnienie 4

pracy domowej pojawiają się zagadnienia 5 i 6.

5. Dygresja na temat aksjomatyzacji Tarskiego i Hilberta

Na pierwszy rzut oka można stwierdzić, że o ile 23 definicji, 5 postulatów i 9 aksjomatów Euklidesa mogło nadawać ton badaniu geometrii płaskiej na przestrzeni ponad 2000 lat, o tyle sformułowania twierdzeń i rozumowania dowodowe wymagają dość sporej inwencji intepreretacyjnej, która objawiała się dopisywaniem brakujących słówek, czy nawet całych postulatów do systemu Euklidesa. Przeczytanie dowodów Euklidesa jest do dziś możliwe i same rozumowania są przekonujące dla matematyków, jednak jest jasne, że czytelnik o ograniczonych możliwościach interpretacyjnych może mieć z tym tekstem dość duży problem. W szczególności, bez gruntownego przepisania tekst ten będzie z całą pewnością niezrozumiały dla komputera, to znaczy komputer może mieć trudności z odgadnięciem, z jakich przesłanek korzysta dany krok dowodu (przyuczenie komputera do zgadywania odpowiednich aksjomatów w dowodach Euklidesa wydaje mi się dość interesującym eksperymentem z zakresu uczenia maszynowego/machine learning). W roku 1899 D. Hilbert w The Foundations of Geometry/Grundlagen der Geometrie (link do wersji angielskiej) zaproponował nową aksjomatyzację geometrii w przestrzeniach euklidesowych. Nieco inną formalizację zaproponował A. Tarski. Opis tej ostatniej formalizacji można znaleźć w książce W. Schwabhäusera, W. Szmielew i A. Tarskiego “Metamathematische Methoden in der Geometrie” oraz w artykule A. Tarskiego i S. Givanta “Tarski's System of Geometry” 3. Zarówno system Hilberta jak i Tarskiego podlega formalizacji komputerowej, w szczególności system Tarskiego został zaimplementowany w ramach projektu Geocoq.

Created with Madoko.net.

1.W każdym razie nie tego typu komputer, z którego możemy skorzystać współcześnie.

2.W odniesieniu do oryginalnego tekstu Euklidesa będę używał trochę nietypowego terminu “Zagadnienie” na określenie zarówno twierdzeń, jak i konstrukcji. Cytowane przeze mnie angielskie tłumaczenie “Elementów” posługuje się słowem “Proposition”.

3.Tarski opublikował w 1959 roku artykuł What is elementary geometry?; artykuł z S. Givantem ukazał się już po śmierci A. Tarskiego.