Algebra I

Autor

Agnieszka Bojanowska
Paweł Traczyk

Pełny tekst

Algebra I

Kurs Geometrii z algebrą liniową na pierwszym roku poświęcony był badaniu przestrzeni liniowych nad ciałami. Pojawiły się też inne ważne struktury algebraiczne, niektóre znane już ze szkoły.

Pełny opis

  1. Pierścień liczb całkowitych Z i pierścień reszt z dzielenia przez m, $\mathbb{Z}_m$. Definicja pierścienia przemiennego z 1. Podpierścień. Elementy odwracalne, dzielniki zera, dziedzina całkowitości. Podzielność, elementy nierozkładalne. Algorytm Euklidesa w Z, największy wspólny dzielnik.

  2. Pierścień wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w ciele, pierścień wielomianów wielu zmiennych. Podzielność i algorytm Euklidesa w $k[x]$. Definicja pierścienia z jednoznacznością rozkładu (DJR). Twierdzenie: $\mathbb{Z}$ i $k[x]$ są DJR. Wielomiany jednej zmiennej: funkcje wielomianowe, pierwiastki wielomianu, pierwiastki a podzielność przez czynniki liniowe (tw. Bezout). Nierozkładalność wielomianów, kryterium Eisensteina i redukcja współczynników.

  3. Homomorfizmy pierscieni z 1, izomorfizm, homomorfizm Z w Z_m oraz ewaluacja wielomianów: $A[x] \to A, f \to f(a)$. Jądro homomorfizmu, ideał, ideał generowany przez skończony podzbiór, ideały główne. Dziedziny ideałów głównych (DIG), twierdzenia: dziedzina z algorytmem Euklidesa ($\mathbb{Z}$, $k[x]$) jest DIG, DIG jest DJR. Pierścień ilorazowy $R/I$, konstrukcja i własność uniwersalna. Ideały pierwsze i ideały maksymalne. Twierdzenie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. Twierdzenie: ideał I w A jest pierwszy (odp. maksymalny) <=> A/I jest dziedziną (ciałem).

  4. Ciała mają wyłącznie trywialne ideały, każdy homomorfizm ciał jest włożeniem. Ciała proste, charakterystyka ciała. Twierdzenie: $f \in k[x]$ jest nierozkładalny <=> $k[x]/(f)$ jest ciałem. Wniosek: pierścień ilorazowy $k[x]/(f)$ jest ciałem zawierającym k, w którym f ma pierwiastek. Definicja algebraicznego domknięcia ciala (bez dowodu istnienia i jednoznaczności). Ciało ułamków dziedziny całkowitości: ogólna konstrukcja, przykłady: z Z do Q, z $k[x]$ do $k(x)$.

  5. Grupa, grupa abelowa, podgrupa. Przykłady: grupy permutacji, grupy liniowe, grupy przekształceń. Grupa cykliczna, rząd elementu, rząd grupy. Warstwy grupy względem podgrupy, indeks podgrupy, twierdzenie Lagrange'a i zastosowania: każda grupa rzędu pierwszego jest cykliczna, małe tw Fermata. Homomorfizm grup, jądro homomorfizmu, dzielnik normalny, grupa ilorazowa.

  6. Produkt dwóch grup, charakteryzacja wewnętrzna produktu. Rozkład skończonej grupy cyklicznej na produkt grup cyklicznych o rzędach względnie pierwszych. Grupy abelowe: podgrupa elementów torsyjnych grupy, kraty (skończenie generowane grupy abelowe bez elementów torsyjnych), twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych grup abelowych (bez dowodu).

  7. Działanie grupy na zbiorze, działanie grupy na sobie (z lewej, z prawej), twierdzenie Cayleya. Orbita działania, stabilizator elementu, punkty stałe działania, działanie wolne, działanie efektywne. Moc orbity = indeks stabilizatora. Przyklady: działanie grupy permutacji i grup liniowych, działanie grupy permutacji $S_n$ przez zero-jedynkowe macierze z $\mathrm{GL}_n$, zastosowanie: znak permutacji jako wyznacznik. Rozkład zbioru na orbity, zastosowanie: rozkład permutacji z $S_n$ na cykle rozłączne jako rozkład zbioru ${1..n}$ na rozłaczne orbity działania podgrupy cyklicznej generowanej przez te permutacje. Automorfizmy grupy. Działanie grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne, orbity = klasy sprzężoności elementów, centrum grupy jako jądro odwzorowania $G -> \mathrm{Aut}(G)$. Zastosowania: (1) twierdzenie Cauchy'ego o istnieniu elementu rzędu p, (2) twierdzenie o nietrywialności centrum p-grupy.

Literatura

  1. Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, Script, Warszawa 2002.

  2. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl.Mat. 63, PWN, Warszawa 1987

  3. J. Browkin, Teoria ciał, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977

  4. M. Kargapolov, J. Merzljakov, Podstawy teorii grup, PWN, Warszawa 1976.

  5. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1981.

  6. K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, PWN, Warszawa 1989.

Efekty uczenia

Student:

  1. Zna pojęcia grupy, pierścienia i ciała oraz pojęcie homomorfizmu tych struktur. Potrafi podawać i rozróżniać różne przykłady tych struktur. Zna z dowodami podstawowe własności działań w tych strukturach i homomorfizmów.

  2. Zna podstawowe konstrukcje grup, twierdzenie Lagrange'a i jego dowód. Potrafi opisać elementy w grupie generowanej przez zbiór, udowodnić twierdzenie strukturalne dla grup cyklicznych oraz wie jak brzmi twierdzenie strukturalne opisujace skończenie generowane grupy abelowe.

  3. Zna pojęcie dzialania grupy na zbiorze oraz pojęcia orbity i stabilizatora oraz zwiazki między nimi. Potrafi opisać zwiazek działania grupy na zbiorze z homomorfizmem tej grupy w grupę permutacji zbioru. Zna zastosowania działań grup na zbiorach, w szczególności: twierdzenie Cayleya, nietrywialność centrum p-grup i twierdzenie Cauchy'ego.

  4. Zna pojęcie podgrupy normalnej i grupy ilorazowej. Potrafi opisywać dzielniki normalne w różnych przykładach grup oraz umie wskazać przyklady podgrupy, które nie są normalne. Zna i potrafi stosować twierdzenie o izomorfizmie. Zna pojęcie komutatora i komutanta oraz abelianizacji grup.

  5. Zna pojęcia różnych typów elementów pierścieni przemiennych (dzielniki zera, nilpotenty, elementy odwracalne) i potrafi je opisywać w wybranych przykładach pierścieni. Zna pojęcie ideału. Potrafi opisywać elementy ideałów generowanych przez zbiory. Zna podstawowe konstrukcje pierścieni oraz pojecia idealow pierwszych i maksymalnych, zależności między nimi oraz ich charakteryzcje w języku pierścieni ilorazowych.

  6. Zna pojecia idealu glownego i pierścienia ideałów głównych. Umie opisać idealy w pierścieniu liczb całkowitych i pierścieniu wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w ciele, a także zna pojęcie dziedziny euklidesowej i potrafi udowodnić, że dziedziny euklidesowe są dziedzinami ideałów głównych oraz, że dziedziną euklidesową jest pierścień liczb całkowitych Gaussa.

  7. Zna pojęcia elementu nierozkładalnego i pierwszego dziedziny, zalezności między tymi pojęciami oraz pojęcie dziedziny z jednoznacznością rozkładu. Potrafi naszkicować dowód twierdzenia, że dziedziny ideałów głównych sa z jednoznacznościa rozkładu oraz zna przyklady dziedzin bez jednoznaczności rozkładu. Zna szkic dowodu twierdzenia Gaussa i kryterium Eisensteina oraz potrafi nimi sie poslugiwać.

  8. Zna pojęcie elementu algebraicznego i potrafi skonstruować rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu o wspolczynnikach w tym ciele. Potrafi wykazać, że grupa pierwiastków z jedynki ustalonego stopnia w ciele jest cykliczna i zna szkic konstrukcji algebraicznego domknięcia ciała. Potrafi okreslić i uzasadnić jakie liczebności mają ciała skończone.

  9. Potrafi wskazac teorioliczbowe zastosowania pojeć i twierdzeń z wykładu.