Analiza Matematyczna I

Autor

Paweł Strzelecki
Sławomir Kolasiński
Michał Jóźwikowski

Pełny tekst

Analiza Matematyczna I

Czym zajmuje się Analiza Matematyczna?

Jedna z możliwych ogólnych odpowiedzi na to pytanie jest następująca: badaniem odpowiednio regularnych funkcji, określonych zwykle na podzbiorach przestrzeni wektorowych (Z pojęciem przestrzeni wektorowej Czytelnik tych notatek zetknie się na wykładach Geometrii z Algebrą Liniową.). Do najważniejszych zagadnień w Analizie należą zatem:

Analiza Matematyczna I - zadania

Niniejszy dodatek ma na celu zaprezentowanie sytuacji, w których obliczenia komputerowe ułatwiają rozwiązywanie problemów matematycznych. Oczywiście komputer nie może zastąpić człowieka w procesie uzasadniania i dowodzenia różnych twierdzeń matematycznych. Może jednak przeprowadzić za nas żmudne obliczenia i nakierować nas na właściwe rozwiązanie problemu. Niekiedy obserwacja wystarczająco dużej porcji danych eksperymentalnych pozawala wyciągać wnioski natury ogólnej i naprowadza na poprawne rozwiązanie zadania. Zaprezentujemy tutaj przykłady podobnych sytuacji.

Pełny opis

Liczby rzeczywiste, kresy zbiorów, pewnik ciągłości, zasada indukcji zupełnej i przykłady jej zastosowań. Granica ciągu (w tym granice nieskończone), warunek Cauchy'ego, istnienie granic ciągów monotonicznych. Istnienie pierwiastków. Podstawowe granice (w tym liczba e). Twierdzenie Bolzano--Weierstrassa o ciągu ograniczonym. (4-5 wykładów)

Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych, pojęcie szeregu zbieżnego. Szereg geometryczny i rozwijanie liczb rzeczywistych przy różnych podstawach (dwuznaczność). Warunek Cauchy'ego. Szeregi o wyrazach dodatnich, kryterium porównawcze, kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu, kryterium ilorazowe d'Alemberta, kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Zależność sumy szeregu od kolejności wyrazów. Szeregi naprzemienne - kryterium Leibniza. Szeregi bezwzględnie zbieżne, zbieżność bezwarunkowa szeregu bezwzględnie zbieżnego. Twierdzenie o zbieżności iloczynu Cauchy'ego dwóch szeregów. Przekształcenie Abela, kryteria Abela i Dirichleta (10-12 wykładów).

Granica funkcji w punkcie, ciągłość funkcji, własność Darboux. Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów. Jednostajna ciągłość funkcji ciągłej na przedziale domkniętym. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne. Ciągłość funkcji odwrotnej, funkcje cyklometryczne. (9-12 wykładów)

Funkcje wypukłe, interpretacja geometryczna. Nierówność Jensena i wynikające z niej klasyczne nierówności (Cauchy'ego o średnich, Schwarza). Pochodna i jej interpretacje, styczna do wykresu funkcji. Charakteryzacja wypukłości funkcji w terminach ilorazów różnicowych i pierwszej pochodnej. (3 wykłady).

Technika różniczkowania (pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu), pochodna złożenia funkcji i pochodna funkcji odwrotnej. Twierdzenia o wartości średniej (Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego). Kryteria monotoniczności funkcji różniczkowalnych. Reguła de l'Hospitala. Ekstrema lokalne. Pochodne drugiego i wyższych rzędów, wzór Taylora z resztą w postaci Peano, Lagrange'a i Cauchy'ego. Wielomiany Taylora funkcji wykładniczej, logarytmu, sinusa, kosinusa, arkusa sinusa i arkusa tangensa. Punkty przegięcia. Warunek dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego lub punktu przegięcia. Funkcje klasy C^k. (7-9 wykładów)

Ciąg funkcyjny i szereg funkcyjny. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągu i szeregu funkcyjnego. Jednostajny warunek Cauchy'ego, kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych, twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami (np. wielomiany Bernsteina). (5-6 wykładów).

Szereg potęgowy, promień zbieżności i przedział zbieżności. Zbieżność jednostajna i bezwzględna szeregu potęgowego. Twierdzenie Abela o ciągłości szeregu potęgowego w końcu przedziału. Rozwinięcia funkcji elementarnych. (3-4 wykłady).

Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna) i całka oznaczona funkcji ciągłej. Całkowanie przez podstawienie i przez części. Reszta całkowa we wzorze Taylora. Całkowanie funkcji wymiernych (ułamki proste). Sumy Riemanna, aproksymacja całki z funkcji ciągłej sumami Riemanna. Całkowalność w sensie Riemanna funkcji ciągłej. Interpretacja geometryczna. Długość wykresu funkcji jako kres górny długości łamanych wpisanych w ten wykres, wzór całkowy na długość wykresu funkcji klasy C^1. Całki z parametrem i rózniczkowanie całek z parametrem. Gamma-funkcja Eulera, wzory Wallisa i Stirlinga. Przykładowe zastosowania rachunku całkowego, np. obliczanie pól i objętości brył obrotowych, niewymierność liczby e. (9-11 wykładów wykładów).