Analiza Matematyczna II

Rachunek różniczkowy wielu zmiennych

1. Struktura liniowa i topologiczna przestrzeni R^n. Odwzorowania liniowe w R^n i ich własności: różnowartościowość, otwartość zbioru odwzorowań odwracalnych.

2. Odwzorowania R^n w R^n, ciągłość, różniczkowalność odwzorowań, pochodna odwzorowania, pochodne kierunkowe i cząstkowe. Związek pochodnej z pochodnymi kierunkowymi. Pochodna superpozycji odwzorowań. Tw. o wartości średniej dla funkcji wielu zmiennych i odwzorowań.

3. Pochodne wyższych rzędów (do 2 rzędu). Tw. Schwarza o równości pochodnych mieszanych. Wzór Taylora drugiego rzędu. Zastosowania: ekstrema funkcji wielu zmiennych.

4. Tw. o funkcji odwrotnej. Tw. o funkcji uwikłanej. Przykłady zastosowań.

5. Rozmaitości zanurzone w R^n, lokalne układy współrzędnych i lokalne parametryzacje. Przestrzeń wektorów stycznych i normalnych. Rozmaitości zadane przez układ równań. Teoria krzywych i powierzchni w R^3 (krzywizna, torsja).

6. Ekstrema warunkowe (związane), metoda mnożników Lagrange'a. Przykłady.

Teoria miary i całki

1. Sigma-ciała: definicja, własności. Sigma-ciało zbiorów borelowskich. Definicja miary, przestrzeń z miarą, własności miary (bez tw. o rozszerzaniu addytywnej funkcji zbioru do miary). Definicja miary Lebesgue'a.

2. Własności zbiorów mierzalnych: aproksymacja zbiorów mierzalnych zbiorami otwartymi, domkniętymi, G-delta, F-sigma, mierzalność iloczynu kartezjańskiego. Funkcje mierzalne: definicja, własności, funkcje proste. Funkcja mierzalna jako granica niemalejącego ciągu funkcji prostych.

3. Definicja całki, własności: oszacowanie modułu całki, tw. Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy, całka sumy funkcji, lemat Fatou, tw. Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu do granicy. Aproksymacja całki Lebesgue'a sumami Riemanna.

4. Tw. Fubiniego i tw. o całkowaniu przez podstawienie. Przykłady zastosowań.

5. Przestrzeń funkcji całkowalnych: zupełność, twierdzenie Riesza, gęstość funkcji gładkich o zwartym nośniku. Ew. także splot i jego zastosowania do aproksymacji.

6. Miara Lebesgue'a-Riemanna na rozmaitościach zanurzonych w przestrzeni R^n. Miara na powierzchni i jej motywacje (przykład Schwarza). Miara na wykresie funkcji. Miara sfery wielowymiarowej.

7. Analiza wektorowa w R^3. Klasyczne wzory Greena, Gaussa-Ostrogradskiego i Stokesa, przykłady zastosowań do zagadnień fizycznych. Interpretacje geometryczne dywergencji i rotacji.