Geometria z Algebrą Liniową

Autor

Józef Chaber
Roman Pol

Pliki PDF

ZałącznikWielkość
geometria-z-algebra-liniowa.pdf
Geometria z Algebrą Liniową
721.27 KB

Pełny tekst

Geometria z Algebrą Liniową

Materiały do zajęć z GAL-u są oparte na naszym wieloletnim doświadczeniu w prowadzeniu tych zajęć na Wydziale MIM UW i są dostosowane do obecnego programu tego przedmiotu.

Pełny opis

 

1. Układy równań liniowych. Rozwiązanie ogólne. Macierze. Operacje elementarne na wierszach macierzy. Postać schodkowa zredukowana. Zastosowanie do rozwiązywania układów równań. (1 wykład).

2. Ciała. Ciało liczb zespolonych. Postać trygonometryczna liczb zespolonych. Pierwiastki wielomianów. Zasadnicze twierdzenie algebry (bez dowodu). Pierwiastki z jedynki. Ciała Z_p. (2 wykłady).

3. Przestrzenie liniowe. Podprzestrzenie. Kombinacje liniowe, przestrzenie rozpięte na układach wektorów. Układy liniowo niezależne. Twierdzenie Steinitza o wymianie. Bazy. Istnienie baz. Wymiar przestrzeni liniowej. Współrzędne wektora w bazie. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Opisywanie podprzestrzeni układami równań liniowych. Iloczyn i suma podprzestrzeni, wymiar sumy podprzestrzeni. Wewnętrzna suma prosta. (4 wykłady).

4. Przekształcenia liniowe. Działania na przekształceniach liniowych (dodawanie, mnożenie przez skalar, składanie), przestrzeń przekształceń liniowych L(V, W). Homotetie, rzuty i symetrie równoległe. Zadawanie przekształcenia przez wartości na bazie. Jądro i obraz przekształcenia. Monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Każda n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad K jest izomorficzna z K^n. Wymiar przestrzeni w zależności od wymiaru jądra i obrazu przekształcenia liniowego. Macierz przekształcenia liniowego. Algebra macierzy. Macierze odwracalne. Funkcjonały (formy) liniowe, przestrzenie sprzężone (dualne). Bazy sprzężone, współrzędne funkcjonału w bazie sprzężonej, izomorfizm skończenie wymiarowej przestrzeni w przestrzeń sprzężoną. Przekształcenia sprzężone, ich macierze w bazach sprzężonych. (5 wykładów).

5. Wyznaczniki. Własności wyznaczników. Obliczanie za pomocą operacji elementarnych. Rozwinięcia Laplace'a. Twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu wyznaczników. Zastosowania wyznaczników, związki z rzędem i z odwracalnością macierzy. Wzory Cramera na rozwiązanie układu n równań liniowych z n niewiadomymi. Wzór permutacyjny na wyznacznik. (3 wykłady).

 

Literatura

G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej

A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią

T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 i 2.

T. Koźniewski, Wykłady z algebry liniowej

M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową

K. Sieklucki, Geometria i topologia.

Efekty uczenia

Student:

1. Zna pojęcie układu równań liniowych i jego rozwiązania a także pojęcie macierzy układu równań i operacji elementarnych na macierzach. Potrafi rozwiązywać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.

2. Zna definicję ciała i podstawowe przykłady ciał w tym ciała liczb zespolonych wraz z ich interpretacją geometryczną. Potrafi znajdować postać trygonometryczną liczb zespolonych i używać jej do potęgowania liczb zespolonych.

3. Zna pojęcie przestrzeni liniowej i przykłady przestrzeni liniowych. Potrafi sprawdzić, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

4. Rozumie pojęciecie liniowej (nie)zależności układu wektorów oraz pojęcia bazy i wymiaru przestrzeni liniowej. Zna podstawowe własności baz. Umie znajdować bazy skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych zadanych na różne sposoby. Potrafi opisywać podprzestrzenie przestrzeni K^n układami równań liniowych.

5. Rozumie pojęcia sumy algebraicznej podprzestrzeni przestrzeni liniowej i rozkładu przestrzeni na sumę prostą podprzestrzeni. Potrafi stosować wzór na wymiar sumy algebraicznej podprzestrzeni. Umie sprawdzać czy przestrzeń jest sumą prostą jej danych podprzestrzeni.

6. Zna definicję przekształcenia liniowego z przykładami. Potrafi znajdować wzór na przekształcenie liniowe zadane przez podanie jego wartości na bazie.

7. Zna pojęcia obrazu i jądra przekształcenia liniowego oraz pojęcia monomorfizmu, epimorfizmu i izomorfizmu. Umie stosować wzór łączący wymiary obrazu, jądra i dziedziny przekształcenia. Potrafi badać czy przekształcenie jest monomorfizmem, epimorfizmem, izomorfizmem.

8. Zna działania na macierzach (dodawanie, mnożenie) i ich własnośći. Zna pojęcie macierzy odwrotnej i odwracalnej. Umie sprawdzić, czy dana macierz jest odwracalna, jeśli tak, to znaleźć jej macierz odwrotną.

9. Rozumie pojęcie macierzy przekształcenia liniowego, wie jak zmienia się ona przy zmianie baz. Umie znajdować macierz przekształcenia liniowego w zadanych bazach i zna jej zastosowania.

10. Zna pojęcia funkcjonału liniowego i przestrzeni sprzężonej. Potrafi znajdować współrzędne funkcjonału w bazie sprzężonej.

11. Zna pojęcie rzędu macierzy i jego związek z rzędem przekształcenia liniowego. Umie stosować rząd w badaniu rozwiązalności układów równań liniowych i w sprawdzaniu odwracalności macierzy.

12. Zna indukcyjną definicję wyznacznika oraz podstawowe twierdzenia o wyznacznikach. Umie stosować wyznaczniki do badania rzędu macierzy, znajdowania macierzy odwrotnej i rozwiązywania układu równań liniowych. Potrafi podać geometryczną interpretację wyznacznika macierzy rzeczywistej oraz permutacyjny wzór na wyznacznik.