Równania różniczkowe zwyczajne

Pełny opis

Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania. Zagadnienie początkowe. Równania wyższych rzędów. Przykłady. (1 wykład)

Metody rozwiązywania równania skalarnego: równanie o zmiennych rozdzielonych, równanie jednorodne i quasi-jednorodne, równanie liniowe i Bernoulliego, całka pierwsza i czynnik całkujący. (2 wykłady)

Twierdzenie Picarda-Lindelofa o lokalnym istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. Lemat Gronwalla. Ciągła i gładka zależność rozwiązań od wartości początkowych i parametrów. Twierdzenia o prostowaniu i przedłużaniu rozwiązań. (2-3 wykłady)

Układy równań liniowych. Własności przestrzeni rozwiązań, wrońskian i twierdzenie Liouville'a. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach. Oscylator harmoniczny z tłumieniem i wymuszeniem. (4 wykłady)

Równania różniczkowe autonomiczne i potoki wyznaczone przez nie. Pole wektorowe. Stabilność punktu stacjonarnego w sensie Lapunowa i stabilność asymptotyczna. Portret fazowy. Portrety fazowe równań liniowych na płaszczyźnie. Wahadło matematyczne. Równanie logistyczne i układ drapieżnik-ofiara Lotki-Volterry. (3 wykłady)

Elementy mechaniki klasycznej. Równanie Newtona z jednym stopniem swobody. Ruch w centralnym polu sił. Prawa Keplera. (3 wykłady)

Literatura

  1. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne. PWN, Warszawa 2004.

  2. B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wyd. Uniw. Łódzkiego, Łódź 2003

  3. J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych zwyczajnych, Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków 1999.

Efekty uczenia

Wiedza i umiejętności:

  1. Wie co to jest równanie różniczkowe, zagadnienie początkowe i co to jest rozwiązanie zagadnienia początkowego, umie sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego lub zagadnienia początkowego;
  2. Umie rozwiązywać równania różniczkowe: o zmiennych rozdzielonych, równania jednorodne, Bernouliego;
  3. Zna warunki dostateczne istnienia jednoznacznego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z zadanym warunkiem początkowym;
  4. Umie podać przykład zagadnienia początkowego, które posiada nieskończenie wiele rozwiązań;
  5. Zna twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań równania różniczkowego zwyczajnego oraz umie podać przykład zagadnienia początkowego, którego rozwiązania nie da się przedłużyć poza pewien skończony odcinek;
  6. Umie rozwiązać liniowe równanie różniczkowe zwyczajne i układ liniowych równań różniczkowych zwyczajnych;
  7. Umie sprowadzić równanie różniczkowe wyższego rzędu do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego;
  8. Umie znaleźć macierz fundamentalną układu równań liniowych;
  9. Wie co to jest pole wektorowe;
  10. Wie co to jest punkt stacjonarny i zna definicję stabilności asymptotycznej punktu stacjonarnego i stabilności w sensie Lapunova;
  11. Umie zbadać stabilność punktu stacjonarnego;
  12. Zna przykłady zastosowań równań różniczkowych zwyczajnych w różnych dziedzinach wiedzy.

Kompetencje społeczne:

  1. Rozumie znaczenie równań różniczkowych zwyczajnych jako narzędzia służącego do formułowania praw przyrody.