Topologia I

Autor

Stefan Jackowski

Pełny opis

  1. Przestrzeń topologiczna; topologia generowana przez rodzinę podzbiorów; baza topologii, własność Hausdorffa.  Przekształcenia ciągłe i homeomorfizmy.
  2. Zbiory otwarte, domknięte, gęste, brzegowe. Ośrodkowość. Operacja wnętrza i operacja domknięcia.  Zachowanie przy przekształceniach ciągłych i homeomorfizmach. Rożne charakteryzacje ciągłości przekształcenia. Przekształcenia otwarte, domknięte i ilorazowe.
  3. Przestrzenie metryczne i topologia definiowana przez metrykę.  Metryzowalność topologii i metryki równoważne. Zbieżność ciągów.  Ciągłość w terminach metrycznych.  Przestrzenie unormowane: euklidesowa i funkcyjna z normą sup.  Równoważność norm w przestrzeniach skończenie wymiarowych.
  4. Konstrukcje przestrzeni topologicznych. podprzestrzeń,  iloczyny kartezjańskie, suma prosta, przestrzeń ilorazowa. Interpretacja w przypadku przestrzeni metrycznych. Zachowanie własności Hausdorffa.  Przykłady: Walec, torus, wstęga Möbiusa, płaszczyzna rzutowa, butelka Kleina.      
  5. Spójność i łukowa spójność.  Zachowanie przy przekształceniach ciągłych i konstrukcjach przestrzeni.  Składowe i zbiory składowych jako niezmiennik topologiczny.
  6. Zwartość. Zachowanie przy przekształceniach ciągłych i konstrukcjach przestrzeni. Tw. Tichonowa.  Charakteryzacja zwartości w terminach metrycznych. Kryterium zwartości podzbiorów przestrzeni euklidesowej. Liczba Lebesgue'a pokrycia.
  7. Zupełność przestrzeni metrycznych.  Tw. Banacha o punktach stałych. Tw. Baire'a. 
  8. Homotopia przekształceń. Homotopijna równoważność. Zbiory składowych łukowych jako niezmienniki homotopijne. Przekształcenia i przestrzenie ściągalne.
  9. Przekształcenie wykładnicze $\exp:\mathbb{C} \to \mathbb{C}^*$. Logarytm i tw. Eilenberga o ściągalności odwzorowań w C^*.  Własność podnoszenia homotopii. Stopień (indeks) pętli w $\mathbb{C}^*$ i ich  klasyfikacja homotopijna.  Wnioski: Tw. Brouwera o punkcie stałym i tw. Borsuka-Ulama (w wmiarach $\leq 2$). Podstawowe twierdzenie algebry.
  10. Grupa  klas homotopii odwzorowań w okrąg (pierwsza grupa kohomologii); homomorfizmy definiowane przez przekształcenia ciągłe. Zachowanie przy konstrukcjach przestrzeni topologicznych.
  11. Zastosowanie grupy  klas homotopii odwzorowań w okrąg  do klasyfikacji topologicznej powierzchni otrzymanych przez utożsamienia boków wielokąta.

Efekty uczenia

Student:

  1. Zna pojęcia przestrzeni metrycznej, przestrzeni topologicznej i jej podprzestrzeni, przestrzeni Hausdorffa, bazy topologii oraz pojęcie ośrodkowości przestrzeni. 
  2. Zna definicje przekształcenia ciągłego i homeomorfizmu, oraz równoważne charakteryzacje ciągłości. 
  3. Potrafi tworzyć nowe przestrzenie topologiczne przy pomocy operacji podprzestrzeni, skończonego iloczynu kartezjańskiego, sumy prostej  i przestrzeni ilorazowej.
  4. Zna definicję zwartości przestrzeni topologicznej, warunki równoważne zwartości w przestrzeniach metryzowalnych oraz własności przekształceń ciągłych określonych na przestrzeniach zwartych. Zna definicję i własności zbioru Cantora. Zna twierdzenie Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego skończenie wielu przestrzeni zwartych.
  5. Zna pojęcie metryki zupełnej i przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych. Zna podstawowe twierdzenia o przestrzeniach metrycznych zupełnych, w tym twierdzenie Banacha o punkcie stałym i twierdzenie Baire’a. 
  6. Zna pojęcia przestrzeni spójnej i łukowo spójnej, oraz pojęcia składowych spójności i łukowej spójności.
  7. Zna definicję homotopii przekształceń i pętli, oraz pojęcia ściągalności przestrzeni i jednospójności. Zna twierdzenie o nieściągalności okręgu i jego zastosowania do dowodów nieistnienia retrakcji dysku na okrąg, twierdzenia Brouwera w wymiarze 2 i Zasadniczego Twierdzenia Algebry.
  8. Potrafi  wskazać niezmienniki rozróżniające typ topologiczny powierzchni. 
  9. Rozpoznaje i określa najważniejsze własności topologiczne podzbiorów przestrzeni euklidesowych i podstawowych przestrzeni metrycznych, w tym własność posiadania bazy przeliczalnej, własność ośrodkowości, zwartości, spójności, łukowej spójności i ściągalności. Rozumie związki między tymi pojęciami.
  10. Umie wykorzystywać własności topologiczne zbiorów i funkcji do rozwiązywania zadań o charakterze jakościowym.