Matematyka na Uniwersytecie Warszawskim - studia atrakcyjne i przyjazne
Topologia I
Pełny opis
- Przestrzeń topologiczna; topologia generowana przez rodzinę podzbiorów; baza topologii, własność Hausdorffa. Przekształcenia ciągłe i homeomorfizmy.
- Zbiory otwarte, domknięte, gęste, brzegowe. Ośrodkowość. Operacja wnętrza i operacja domknięcia. Zachowanie przy przekształceniach ciągłych i homeomorfizmach. Rożne charakteryzacje ciągłości przekształcenia. Przekształcenia otwarte, domknięte i ilorazowe.
- Przestrzenie metryczne i topologia definiowana przez metrykę. Metryzowalność topologii i metryki równoważne. Zbieżność ciągów. Ciągłość w terminach metrycznych. Przestrzenie unormowane: euklidesowa i funkcyjna z normą sup. Równoważność norm w przestrzeniach skończenie wymiarowych.
- Konstrukcje przestrzeni topologicznych. podprzestrzeń, iloczyny kartezjańskie, suma prosta, przestrzeń ilorazowa. Interpretacja w przypadku przestrzeni metrycznych. Zachowanie własności Hausdorffa. Przykłady: Walec, torus, wstęga Möbiusa, płaszczyzna rzutowa, butelka Kleina.
- Spójność i łukowa spójność. Zachowanie przy przekształceniach ciągłych i konstrukcjach przestrzeni. Składowe i zbiory składowych jako niezmiennik topologiczny.
- Zwartość. Zachowanie przy przekształceniach ciągłych i konstrukcjach przestrzeni. Tw. Tichonowa. Charakteryzacja zwartości w terminach metrycznych. Kryterium zwartości podzbiorów przestrzeni euklidesowej. Liczba Lebesgue'a pokrycia.
- Zupełność przestrzeni metrycznych. Tw. Banacha o punktach stałych. Tw. Baire'a.
- Homotopia przekształceń. Homotopijna równoważność. Zbiory składowych łukowych jako niezmienniki homotopijne. Przekształcenia i przestrzenie ściągalne.
- Przekształcenie wykładnicze $\exp:\mathbb{C} \to \mathbb{C}^*$. Logarytm i tw. Eilenberga o ściągalności odwzorowań w C^*. Własność podnoszenia homotopii. Stopień (indeks) pętli w $\mathbb{C}^*$ i ich klasyfikacja homotopijna. Wnioski: Tw. Brouwera o punkcie stałym i tw. Borsuka-Ulama (w wmiarach $\leq 2$). Podstawowe twierdzenie algebry.
- Grupa klas homotopii odwzorowań w okrąg (pierwsza grupa kohomologii); homomorfizmy definiowane przez przekształcenia ciągłe. Zachowanie przy konstrukcjach przestrzeni topologicznych.
- Zastosowanie grupy klas homotopii odwzorowań w okrąg do klasyfikacji topologicznej powierzchni otrzymanych przez utożsamienia boków wielokąta.
Efekty uczenia
Student:
- Zna pojęcia przestrzeni metrycznej, przestrzeni topologicznej i jej podprzestrzeni, przestrzeni Hausdorffa, bazy topologii oraz pojęcie ośrodkowości przestrzeni.
- Zna definicje przekształcenia ciągłego i homeomorfizmu, oraz równoważne charakteryzacje ciągłości.
- Potrafi tworzyć nowe przestrzenie topologiczne przy pomocy operacji podprzestrzeni, skończonego iloczynu kartezjańskiego, sumy prostej i przestrzeni ilorazowej.
- Zna definicję zwartości przestrzeni topologicznej, warunki równoważne zwartości w przestrzeniach metryzowalnych oraz własności przekształceń ciągłych określonych na przestrzeniach zwartych. Zna definicję i własności zbioru Cantora. Zna twierdzenie Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego skończenie wielu przestrzeni zwartych.
- Zna pojęcie metryki zupełnej i przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych. Zna podstawowe twierdzenia o przestrzeniach metrycznych zupełnych, w tym twierdzenie Banacha o punkcie stałym i twierdzenie Baire’a.
- Zna pojęcia przestrzeni spójnej i łukowo spójnej, oraz pojęcia składowych spójności i łukowej spójności.
- Zna definicję homotopii przekształceń i pętli, oraz pojęcia ściągalności przestrzeni i jednospójności. Zna twierdzenie o nieściągalności okręgu i jego zastosowania do dowodów nieistnienia retrakcji dysku na okrąg, twierdzenia Brouwera w wymiarze 2 i Zasadniczego Twierdzenia Algebry.
- Potrafi wskazać niezmienniki rozróżniające typ topologiczny powierzchni.
- Rozpoznaje i określa najważniejsze własności topologiczne podzbiorów przestrzeni euklidesowych i podstawowych przestrzeni metrycznych, w tym własność posiadania bazy przeliczalnej, własność ośrodkowości, zwartości, spójności, łukowej spójności i ściągalności. Rozumie związki między tymi pojęciami.
- Umie wykorzystywać własności topologiczne zbiorów i funkcji do rozwiązywania zadań o charakterze jakościowym.