Wstęp do Matematyki

Autor

Henryk Michalewski

Pełny tekst

Wstęp do Matematyki

 

Nieco rozszerzony wykład ze Wstępu do Matematyki z naciskiem na zagadnienia obliczeniowe i interakcję z komputerem. Autorem tej koncepcji wykładu jest Henryk Michalewski. Elementy klikalne nie działają na stronie dydmat i ogólnie dość słabo działa formatowanie - wersję tego wykładu bez defektów można znaleźć na portalu wdm.

Pełny opis

Zbiór i relacja należenia, zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych. Sposoby definiowania zbiorów, zbiór pusty. Zawieranie zbiorów. Suma i iloczyn (dwuargumentowe), własności. Suma i iloczyn uogólnione. Różnica, dopełnienie zbioru. Prawa de Morgana skończone i nieskończone. Pary uporządkowane, iloczyn kartezjański (skończenie wielu zbiorów). Zbiór potęgowy. Elementy rachunku zdań: spójniki logiczne, formuły, wartościowanie. Tautologie, zastosowanie do dowodów. Kwantyfikatory. Prawa de Morgana, negacja zdań. Związek rachunku zdań i kwantyfikatorów z rachunkiem zbiorów. Funkcja jako zbiór par uporządkowanych. Dziedzina, przeciwdziedzina, wykres. Funkcje różnowartościowe, funkcje na. Permutacje. Składanie funkcji, funkcja odwrotna. Grupy przekształceń. Obrazy i przeciwobrazy. Ciągi skończone i nieskończone. Indeksowane rodziny zbiorów, ich sumy i iloczyny. Podwójnie indeksowane rodziny zbiorów, ciągi podwójne, macierze skończone i nieskończone. (3--4 wykłady)

Równoliczność zbiorów. Zbiory przeliczalne, co najwyżej przeliczalne, nieprzeliczalne. Dowód istnienia zbiorów nieprzeliczalnych - przykłady rozumowań przekątniowych. Porównywanie mocy zbiorów, twierdzenie Cantora-Bernsteina (dowód). Własności zbiorów przeliczalnych (suma, iloczyn kartezjański zbiorów co najwyżej przeliczalnych). Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Zbiory mocy continuum, przykłady, własności (suma, iloczyn kartezjański zbiorów mocy continuum). Twierdzenie Cantora. Wzmianka o hipotezie continuum. (3--4 wykłady)

Relacja jako zbiór par uporządkowanych, przykłady relacji dwuargumentowych. Dziedzina, przeciwdziedzina, pole relacji. Relacje odwrotne. Funkcje jako relacje. Własności relacji. Relacja porządku częściowego i liniowego, diagramy relacji porządku, elementy wyróżnione. Izomorfizm zbiorów uporządkowanych, niezmienniki izomorfizmu. Lemat Kuratowskiego-Zorna (bez dowodu), twierdzenie o istnieniu bazy w dowolnej przestrzeni liniowej. (2 wykłady)

Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy. Podział zbioru, relacja równoważności wyznaczona przez podział, przykłady. Wzajemna odpowiedniość pomiędzy relacjami równoważności a podziałami. (1 wykład)

Liczby naturalne, aksjomaty Peano. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję. Informacja o definicjach działań i porządku. Różne rodzaje indukcji - definiowanie i dowodzenie, podwójna indukcja. Wzmianka o możliwości konstrukcji zbioru liczb naturalnych. (1 wykład)

Liczby całkowite (np. konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb naturalnych); dodawanie i mnożenie, porządek. Liczby wymierne: konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb całkowitych; dodawanie, mnożenie, dzielenie, porządek. Liczby rzeczywiste: konstrukcja przez przekroje Dedekinda lub ciągi Cauchy'ego nad zbiorem liczb wymiernych; działania i porządek. (2 wykłady)

 

 

Literatura

W.Guzicki, P.Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki.

Wprowadzenie do teorii mnogości. PWN, Warszawa 2005.

W.Guzicki, P.Zakrzewski, Zbiór zadań ze wstępu do matematyki. PWN, Warszawa 2005.

H. Rasiowa, Wstęp do matematyki. PWN, Warszawa 2004

K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN,

Warszawa 2004 K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości. PWN, Warszawa 1978

Efekty uczenia

Student

  1. potrafi używać zapisu symbolicznego (spójniki logiczne, kwantyfikatory)
  2. umie operować konstrukcjami na zbiorach (suma, iloczyn, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, indeksowane rodziny zbiorów)
  3. rozpoznaje podstawowe własności funkcji, znajduje obraz/przeciwobraz zbioru dla danej funkcji
  4. potrafi badać równoliczność zbiorów, rozpoznaje zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, zna własności zbiorów przeliczalnych i zbiorów mocy continuum
  5. rozpoznaje relacje równoważności, wyznacza klasy abstrakcji
  6. rozpoznaje relacje częściowego, liniowego i dobrego porządku, wskazuje elementy wyróżnione
  7. potrafi ustalić istnienie lub nieistnienie izomorfizmu zbiorów uporządkowanych
  8. zna lemat Kuratowskiego-Zorna i niektóre jego zastosowania.